Question

已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點G在BC上，連接AG，過C作CF⊥AG，垂足為點E，過點B作BF⊥CF于點F，點D是AB的中點，連接DE、DF．
（1）若∠CAG=30°，EG=1，求BG的長；
（2）求證：∠AED=∠DFE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形,解直角三角形

專題：

分析：（1）首先根據(jù)勾股定理求出CE的長，進而得到AC的長，因為AC=BC，所以BC可求，利用BH=BC-CG計算即可；
（2）連接CD，通過證明分別證明△ACE≌△CBF和△DCE≌△DBF，利用全等三角形的性質即可證明∠AED=∠DFE．

解答：（1）解：∵∠CAG=∠FCB=30°，EG=1，sin30°=

EG

CG

=

1

2

∴CG=2，
∴CE=

22-12

=

3

 
∵sin30°=

CE

AC

，
∴AC=2

3

，
∴BC=2

3

    
∴BG=2

3

-2；

（2）證明：連接CD，
在△ACE和△CBF中，

∠AEC=∠CFB ∠CAE=∠FCB AC=BC

，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴CE=BF，
∵等腰RT△ABC中，點D是AB的中點，
∴CD=BD，
∵CD⊥BD，
∠DCE+∠DPC=∠FBP+∠FPB=90°，
∴∠DCE=∠DBF，
在△DCE和△DBF中，

CE=BF ∠DCE=∠DBF DC=BD

∴△DCE≌△DBF（SAS），
∴∠CED=∠BFD，
∵∠AEC=∠CFB=90°，
∴∠AED=∠DFE．

點評：本題考查了勾股定理的運用、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質，題目的綜合性強，難度不小，對學生的解題能力較強很高．