Question

【題目】如圖1，已知二次函數(shù)y=mx2+3mx﹣m的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)D和點(diǎn)B關(guān)于過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l：y=﹣x﹣對(duì)稱(chēng)．

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及二次函數(shù)解析式；

（2）如圖2，作直線(xiàn)AD，過(guò)點(diǎn)B作AD的平行線(xiàn)交直線(xiàn)1于點(diǎn)E，若點(diǎn)P是直線(xiàn)AD上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線(xiàn)AE上的一動(dòng)點(diǎn)．連接DQ、QP、PE，試求DQ+QP+PE的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由：

（3）將二次函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，平移后的二次函數(shù)圖象上存在一點(diǎn)M，其橫坐標(biāo)為3，在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得∠MAF=45°？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣，0），B（，0）；拋物線(xiàn)解析式y=x2+x﹣；（2）12；（3）（0，），（0，﹣）

【解析】

（1）在y=mx2+3mx﹣m中令y=0，解方程求得x的值即可求得A、B的坐標(biāo)，繼而根據(jù)已知求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，把點(diǎn)D坐標(biāo)代入函數(shù)解析式y=mx2+3mx﹣m利用待定系數(shù)法求得m即可得函數(shù)解析式；

（2）先求出直線(xiàn)AD解析式，再根據(jù)直線(xiàn)BE∥AD，求得直線(xiàn)BE解析式，繼而可得點(diǎn)E坐標(biāo)，如圖2，作點(diǎn)P關(guān)于AE 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E'，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得PQ=P'Q，PE=EP'=P'E'，從而有DQ+PQ+PE=DQ+P'Q+P'E'，可知當(dāng)D，Q，E'三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，DQ+PQ+PE值最小，即DQ+PQ+PE最小值為DE'，根據(jù)D、E'坐標(biāo)即可求得答案；

（3）分情況進(jìn)行討論即可得答案.

（1）∵令y=0，

∴0=m x2+3mx﹣m，

∴x1=，x2=﹣，

∴A（﹣，0），B（，0），

∴頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣，

∵直線(xiàn)y=﹣x﹣ 與x軸所成銳角為30°，且D，B關(guān)于y=﹣x﹣對(duì)稱(chēng)，

∴∠DAB=60°，且D點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣，

∴D（﹣，﹣3），

∴﹣3=m﹣m﹣m，

∴m=，

∴拋物線(xiàn)解析式y=x2+x﹣；

（2）∵A（﹣，0），D（﹣，﹣3），

∴直線(xiàn)AD解析式y=﹣x﹣，

∵直線(xiàn)BE∥AD，

∴直線(xiàn)BE解析式y=﹣x+，

∴﹣x﹣=﹣x+，

∴x=，

∴E（，﹣3），

如圖2，作點(diǎn)P關(guān)于AE 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E'，

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得PQ=P'Q，PE=EP'=P'E'，

∴DQ+PQ+PE=DQ+P'Q+P'E'，

∴當(dāng)D，Q，E'三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，DQ+PQ+PE值最小，

即DQ+PQ+PE最小值為DE'，

∵D（﹣，﹣3），E'（，3），

∴DE'=12，

∴DQ+PQ+PE最小值為12；

（3）∵拋物線(xiàn)y=（x+）2﹣3圖象向右平移個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，

∴平移后解析式y=x2，

當(dāng)x=3時(shí)，y=3，

∴M （3，3），

如圖3

若以AM為直角邊，點(diǎn)M是直角頂點(diǎn)，在AM上方作等腰直角△AME，則∠EAM=45°，

直線(xiàn)AE交y軸于F點(diǎn)，作MG⊥x軸，EH⊥MG，則△EHM≌△AMG，

∵A（﹣，0），M（3，3），

∴E（3﹣3，3+），

∴直線(xiàn)AE解析式：y=x+，

∴F（0，），

若以AM為直角邊，點(diǎn)M是直角頂點(diǎn)，在AM上方作等腰直角△AME，

同理可得：F（0，﹣）.