Question

5．如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O與邊AC交于點D，E為$\widehat{AD}$上的一點，BE交AC于點F，CF=BC，∠EAF=∠EBA．
（1）判斷BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若AB=2$\sqrt{5}$，AC=6，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）BC是⊙O切線，只要證明∠ABC=90°即可．
（2）利用△AEB∽△FDB，得$\frac{EB}{BD}$=$\frac{AB}{BF}$，只要求出BD、BF即可解決問題．

解答 解：（1）BC與⊙O相切．理由如下：
∵AB為直徑，
∴∠E=90°，
∴∠1+∠5=90°，
∵∠4=∠5，∠1=∠2，
∴∠4+∠2=90°，
∵CB=CF，
∴∠4=∠CBF，
∴∠CBF+∠2=90°，
∴AB⊥BC，
∴BC為⊙O的切線；
（2）連接BD則BD⊥AC，
在RT△ABC中，∠ABC=90°，AB=2$\sqrt{5}$，AC=6，
∴BC=CF=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}$=4，
∵$\frac{1}{2}$•AC•BD=$\frac{1}{2}$•BC•AB，
∴BD=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
∴CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{8}{3}$，DF=4-$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∴BF=$\sqrt{B{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∵∠2=∠3，∠AEB=∠BDF，
∴△AEB∽△FDB，
∴$\frac{EB}{BD}$=$\frac{AB}{BF}$，
∴$\frac{BE}{\frac{4\sqrt{5}}{3}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\frac{4\sqrt{6}}{3}}$，
∴BE=$\frac{5\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系、相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是尋找相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．