Question

如圖，矩形ABOD的頂點(diǎn)A是函數(shù)y=

k

x

與函數(shù)y=-x-（k+1）在第二象限的交點(diǎn)，AB垂直于x軸于B，AD垂直于y軸于D，且矩形ABOD的面積為3．
（1）求兩函數(shù)的解析式；
（2）求交點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；
（3）若以AC為直徑的圓與y軸交于P點(diǎn)，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義和矩形ABOD的面積為3求出k的值；
（2）將兩函數(shù)解析式組成方程組，求出其解，即得交點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；
（3）首先根據(jù)A、C的坐標(biāo)確定圓的直徑的長(zhǎng)和AC的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1），設(shè)p坐標(biāo)（0，a），利用P點(diǎn)與AC中點(diǎn)距離為2

2

列方程求解a的值后即可確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），
∵點(diǎn)A在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
∵S_矩形ABOD=|AB|•|AD|=|x|•|y|=3，
∴-xy=3，
又∵y=

k

x

，
∴xy=k，
∴k=-3．
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-

3

x

，一次函數(shù)的解析式為y=-x+2．

（2）由

y=- 3 x y=-x+2

，
解得

x=-1 y=3

或

x=3 y=-1

．
∴點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（-1，3），（3，-1）．

（3）∵點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（-1，3），（3，-1），
∴線段AC的長(zhǎng)為

(3-1)2+(-1-3)

=4

2

，
∴以AC為直徑的圓的半徑為2

2

，
∴線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為：（

-1+3

2

，

3-1

2

），
即：（1，1），
設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，a），
∵則（a-1）²+1²=（2

2

）²
解得：a=1±

7

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1+

7

），（0，1-

7

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)的幾何意義及函數(shù)圖象交點(diǎn)和方程組的解關(guān)系，求出各交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．