Question

如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有點A（6，0），B（0，8），C（-4，0），點M、N分別為線段AC和射線AB上的動點，點M以2個單位長度/秒的速度自C向A方向作勻速運(yùn)動，點N以5個單位長度/秒的速度自A向B方向作勻速運(yùn)動，MN交OB于點P．
（1）求證：MN：NP為定值；
（2）若△BNP與△MNA相似，求CM的長；
（3）若△BNP是等腰三角形，求CM的長．

Answer 1

分析：（1）過點N作NH⊥x軸于點H，然后分兩種情況進(jìn)行討論，綜合兩種情況，求得MN：NP為定值

5

3

．
（2）當(dāng)△BNP與△MNA相似時，當(dāng)點M在CO上時，只可能是∠MNB=∠MNA=90°，所以△BNP∽△MNA∽△BOA，所以

AM

AN

=

AB

AO

，
所以

10-2k

5k

=

10

6

，k=

30

31

，即CM=

60

31

；當(dāng)點M在OA上時，只可能是∠NBP=∠NMA，所以∠PBA=∠PMO，根據(jù)題意可以判定不成立，所以CM=

60

31

．
（3）由于等腰三角形的特殊性質(zhì)，應(yīng)分三種情況進(jìn)行討論，即BP=BN，PB=PN，NB=NP三種情況進(jìn)行討論．

解答：證明：（1）過點N作NH⊥x軸于點H，
設(shè)AN=5k，得：AH=3k，CM=2k，
①當(dāng)點M在CO上時，點N在線段AB上時：
∴OH=6-3k，OM=4-2k，
∴MH=10-5k，
∵PO∥NH，
∴

MN

NP

=

MH

OH

=

10-5k

6-3k

=

5

3

，
②當(dāng)點M在OA上時，點N在線段AB的延長線上時：
∴OH=3k-6，OM=2k-4，∴MH=5k-10，
∵PO∥NH，
∴

MN

NP

=

MH

OH

=

5k-10

3k-6

=

5

3

；
解：（2）當(dāng)△BNP與△MNA相似時：
①當(dāng)點M在CO上時，只可能是∠MNB=∠MNA=90°，
∴△BNP∽△MNA∽△BOA，∴

AM

AN

=

AB

AO

，
∴

10-2k

5k

=

10

6

，k=

30

31

，CM=

60

31

，
②當(dāng)點M在OA上時，只可能是∠NBP=∠NMA，
∴∠PBA=∠PMO，


∵

∠PBA=∠BNP+∠BPN ∠PMO=∠BNP+∠BAO ∠BAO＞∠PBA＞∠BPN

∴∠PBA≠∠PMO，矛盾∴不成立；

（3）∵

PO

NH

=

2

5

，PO=

2

5

NH=

2

5

•4k，∴PO=

8

5

k，BP=8-

8

5

k，
①當(dāng)點M在CO上時，BN=10-5k，
（ⅰ）BP=BN，8-

8

5

k=10-5k，k=

10

17

，CM=

20

17

；
（ⅱ）PB=PN，則∠PNB=∠PBN，∵∠PNB＞∠BAC＞∠PBN，矛盾，∴不成立；
（ⅲ）NB=NP，則∠NBP=∠NPB
∵∠NPB=∠MNH，∠NBP=∠ANH，∴∠MNH=∠ANH
又∵NH⊥MA，可證△MNA為等腰三角形，
∴MH=AH，∴10-5k=3k，∴k=

5

4

，CM=

5

2

；
②當(dāng)點M在OA上時，BN=5k-10．
（�。〣P=BN，8-

8

5

k=5k-10，k=

30

11

，CM=

60

11

；
（ⅱ）PB=PN或NB=NP∵∠PBN＞90°，∴不成立．

點評：本題主要是滲透分類思想，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)密性思維和解題方法：確定圖形--分析圖形--數(shù)形結(jié)合--解決問題．