Question

12．如圖，正方形ABCD的兩條對角線AC、BD相交于點O，點M、N分別為AB、BC邊上的點，且∠MON=90°，由OE平分∠MON交BC邊于點E，連接ME．則下列結(jié)論：
①△BOM≌△CON；②ME=EN；③BE²+CN²=ON²；④EO²=EN•EC．
其中正確的結(jié)論是①②④（填寫所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

分析 ①正確．根據(jù)ASA即可證明；
②正確．只要證明△EOM≌△EON，可得EM=EN；
③錯誤．易證BE²+CN²=EM²，顯然EM≠ON，故③錯誤；
④正確．只要證明△OEN∽△CEO，可得$\frac{OE}{CE}$=$\frac{EN}{OE}$，由此即可證明；

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，AC⊥BD，
∴∠MON=∠BOC=90°，
∴∠BOM=∠CON，
在△BOM和△CON中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOM=∠CON}\\{OB=OC}\\{∠OBM=∠OCN}\end{array}\right.$，
∴△BOM≌△CON，故①正確，
∴OM=ON，BM=CN，
∵∠EON=∠EOM=45°，EO=EO，
∴△EOM≌△EON，
∴EM=EN，故②正確，
在Rt△EMB中，BE²+BM²=EM²，
∴BE²+CN²=EM²，顯然EM≠ON，故③錯誤，
∵∠EON=∠ECO，∠OEN=∠OEC，
∴△OEN∽△CEO，
∴$\frac{OE}{CE}$=$\frac{EN}{OE}$，
∴OE²=EN•EC，故④正確．
故答案為①②④

點評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．