Question

16．如圖，矩形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：
（1）BE=CF；
（2）△CDF∽△BDC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AC=BD，AO=OC，BO=DO，推出OB=OC，求出∠ECB=∠FBC，∠BEC=∠CFB=90°，根據(jù)AAS推出△BEC≌△CFB，即可得出答案；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)求出∠BCD=90°，求出∠CFD=∠BCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出即可．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=OC，BO=DO，
∴OB=OC，
∴∠ECB=∠FBC，
∵BE⊥AC，CF⊥BD，
∴∠BEC=∠CFB=90°，
在△BEC和△CFB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECB=∠FBC}\\{∠BEC=∠CFB}\\{BC=CB}\end{array}\right.$
∴△BEC≌△CFB（AAS），
∴BE=CF；

（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∵CF⊥BD，
∴∠CFD=90°，
∴∠CFD=∠BCD，
∵∠FDC=∠CDB，
∴△CDF∽△BDC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．