Question

如圖，將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上使它的直角頂點P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經過點B，另一邊與射線DC相交于點Q，當點Q在邊CD上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關系？試證明你觀察得到的結論．

Answer 1

答：PQ=PB
證明：過點P作MN∥BC，分別交AB于點M，交CD于點N，則四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形，
△AMP和△CNP都是等腰三角形．
∴NP=NC=MB
∵∠BPQ=90°
∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90°
∴∠QPN=∠PBM．又∠QNP=∠PMB=90°
∵在△QNP和△PMB中，
，
∴△QNP≌△PMB（ASA），
∴PQ=PB．
分析：過點P作MN∥BC，分別交AB于點M，交CD于點N，可得四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形；根據(jù)等腰三角形的性質與角的互余關系進行代換可得△QNP≌△PMB，故PQ=PB．
點評：考查了正方形的性質和全等三角形的判定與性質，解答本題要充分利用正方形的特殊性質．注意在正方形中的特殊三角形的應用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關系，可有助于提高解題速度和準確率．