Question

已知平行四邊形，．點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），連結(jié)，連結(jié)，并延長交的延長線于點(diǎn)，連結(jié)．

（1）當(dāng)為的中點(diǎn)時，求證與的面積相等；

（2）當(dāng)為上任意一點(diǎn)時，與的面積還相等嗎？說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：點(diǎn)為的中點(diǎn)，，

又，

，

兩點(diǎn)到的距離相等，為，

則，

，

．

（2）解：法一：當(dāng)為上任意一點(diǎn)時，設(shè)，則，

四邊形是平行四邊形，

，

，

在中，邊上的高，

　　，

　　，

又在中，邊上的高，

，

．

法二：為平行四邊形，

，

又，

，

即．

【解析】（1）S_△EFC=FC•高h(yuǎn)，S_△ABF=BF•高h(yuǎn)′，而△EFC與△ABF的面積相等且當(dāng)F為BC的中點(diǎn)，所以必須證明h=h′，而h=ABsinα，h′=EBsinα，所以證明方向轉(zhuǎn)化為求證EB=AB，而EB=CD，可利用證△EBF≌△DCF來解答，因此便可求證所求；

（2）由于△ABC和△CDE為等底等高三角形，所以S_△ABC=S_△CDE，又因?yàn)椤鰽CF和△CDF同底等高，所以S_△AFC=S_△CDF．∴S_△ABC-S_△AFC=S_△CDE-S_△CDF，即S_△ABF=S_△EFC．