Question

如圖，∠AOB=30°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PEF周長(zhǎng)取得最小值時(shí)，∠EPF的度數(shù)為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題

專(zhuān)題：

分析：要求∠EPF的度數(shù)，要在△EPF中進(jìn)行，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)找出與∠CPD的關(guān)系，利用已知∠AOB=30°可求出∠CPD，答案可得．

解答：解：作P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C、D，連接CD角OA、OB于E、F．
此時(shí)△PEF周長(zhǎng)有最小值；
∵P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)，
∴OA垂直平分PC，OB垂直平分PD，
∴CE=PE，PF=DF，
∴∠PEF=2∠C，∠PFE=2∠D，
∵∠PRE=∠PTF=90°，
∴在四邊形OTPR中，
∴∠CPD+∠AOB=180°，
∵∠EPF+2∠C+2∠D=180°，
即∠CPD+∠C+∠D=180°，
∴∠C+∠D=∠AOB=30°
∴∠EPF=180°-30°×2=120°
故答案為120°．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)等腰三角形．在計(jì)算的過(guò)程中運(yùn)用了四邊形的內(nèi)角和和三角形的內(nèi)角和定理及其推論．