Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，拋物線，y=x²+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)E是Rt△ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A、B除外），過點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）若在拋物線的對(duì)稱軸上恰好存在唯一的點(diǎn)P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；請(qǐng)確定此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先根據(jù)OA=1，OC=4，得到點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，5），再根據(jù)待定系數(shù)法得到拋物線的解析式；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法得到直線AB的解析式，設(shè)點(diǎn)E（t，t+1）．則F（t，t²-2t-3），-1＜t＜4，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到EF=-（t-

3

2

）²+

25

4

，從而得到線段EF的長(zhǎng)度最大時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）分兩種情況：①當(dāng)1＜t＜4時(shí)；②當(dāng)-1＜t＜1時(shí)；進(jìn)行討論可得點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵OA=1，OC=4，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，5），
將點(diǎn)A坐標(biāo)和點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線的解析式，可得

1-b+c=0 16+4b+c=5

，
解得

b=-2 c=-3

．
故拋物線的解析式為y=x²-2x-3．

（2）∵直線AB經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（4，5），
∴直線AB的解析式為y=x+1．
設(shè)點(diǎn)E（t，t+1）．則F（t，t²-2t-3），-1＜t＜4，
∴EF=（t+1）-（t²-2t-3）=-t²+3t+4=-（t-

3

2

）²+

25

4

，
∴當(dāng)t=

3

2

時(shí)，EF的最大值為

25

4

．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

3

2

，

5

2

）．

（3）若在拋物線的對(duì)稱軸上恰好存在唯一的點(diǎn)P．使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形．則以EF為直徑的圓必與拋物線的對(duì)稱軸相切．
①當(dāng)1＜t＜4時(shí)，

t-1=

-t2+3t+4

2

，
解得t=3．
此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，2）．
②當(dāng)-1＜t＜1時(shí)

1-t=

-t2+3t+4

2

，
解得t=

5- 33

2

，
此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

5- 33

2

，

7- 33

2

）．
綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，4）和（

5- 33

2

，

7- 33

2

）．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求拋物線的解析式，待定系數(shù)法求直線的解析式，兩點(diǎn)間的距離公式，函數(shù)最值問題，分類思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．