Question

7．在生活中，正方形總給我們美的享受，它在生活中的問題也很多，下面請(qǐng)同學(xué)們?cè)诿赖囊曈X中研究問題：在正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動(dòng)．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E自D向C，點(diǎn)F自C向B移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，請(qǐng)你寫出AE與DF的關(guān)系，并說明理由．
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別移動(dòng)到邊DC，CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AE和DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？（請(qǐng)你直接作答，不需證明）
（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)E自C向D，點(diǎn)F自B向C，分別在邊CD，BC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）AE=DF，AE⊥DF．先證得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性質(zhì)得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；
（2）成立．四邊形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因?yàn)椤螩DF+∠ADF=90°，∠DAE+∠ADF=90°，所以AE⊥DF；
（3）成立．由（1）同理可證AE=DF，∠DAE=∠CDF，延長(zhǎng)FD交AE于點(diǎn)G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；

解答 解：（1）AE=DF，AE⊥DF；理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°，
∵動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動(dòng)，
∴DE=CF，
在△ADE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADC=∠C}\\{DE=CF}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，
由于∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠DAE+∠ADF=90°，
∴∠APD=90°，
∴AE⊥DF；
（2）成立；
理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=∠DCF=90°，
∵動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動(dòng)，
∴DE=CF，
在△ADE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADC=∠DCF}\\{DE=CF}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，
由于∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠DAE+∠ADF=90°，
∴AE⊥DF；
（3）成立；
理由如下：

同（1）得：AE=DF，∠DAE=∠CDF，
延長(zhǎng)FD交AE于點(diǎn)G，如圖所示：
則∠CDF+∠ADG=90°，
∴∠ADG+∠DAE=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AE⊥DF．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、互余兩角的關(guān)系、垂線的證法等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．