Question

如圖所示，將矩形紙片ABCD按如圖方式折疊，EF、EC為折痕，折疊后點A落在邊CD的A處，點B落在邊A′E的B′處．若A′D=4，BC=8，則AE的長是（　�。�

• A、10
• B、11
• C、12
• D、13

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：根據(jù)矩形的對邊相等可得AD=BC，根據(jù)翻折的性質可得AF=A′F，B′C=BC，設AF=x，表示出DF，然后在Rt△A′DF中，利用勾股定理列出方程求解得到AF，再求出DF，然后求出△A′DF和△CB′A′相似，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出A′B′，利用勾股定理列式求出A′C，然后求出CD，從而得到AB，設AE=y，表示出BE，再根據(jù)△AEF和△BCE相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求解即可．

解答：解：∵矩形ABCD的邊BC=8，
∴AD=BC=8，
由翻折的性質得，AF=A′F，B′C=BC，
設AF=x，則DF=8-x，
在Rt△A′DF中，由勾股定理得，A′D²+DF²=A′F²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
∴DF=8-x=8-5=3，
由翻折得，∠EA′F=∠A=90°，∠CB′E=∠B=90°，CB′=BC=8，
∴∠DA′F+∠CA′B′=90°，∠A′B′C=90°，
∵∠DA′F+∠A′FD=90°，
∴∠A′FD=∠CA′B′，
又∵∠D=∠A′B′C=90°，
∴△A′DF∽△CB′A′，
∴

DF

A′B′

=

A′D

CB′

，
即

3

A′B′

=

4

8

，
解得A′B′=6，
由勾股定理得，A′C=

A′B′2+CB′2

=

62+82

=10，
∴CD=A′D+A′C=4+10=14，
∴AB=CD=14，
設AE=y，則BE=14-y，
由翻折的性質得，∠AEF=∠A′EF，∠BEC=∠B′EC，
∴∠AEF+∠BEC=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠BEC，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BCE，
∴

AF

BE

=

AE

BC

，
即

5

14-y

=

y

8

，
整理得，y²-14y+40=0，
解得y₁=4，y₂=10，
由圖可知，AE大于AB的一半，
所以AE=10．
故選A．

點評：本題考查了翻折變換的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理的應用，熟記各性質是解題的關鍵，難點在于多次求三角形相似并利用相似三角形的對應邊成比例列出比例式．