Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB＝10，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E，連接DE，過點B作BP平行于DE，交⊙O于點P，連接CP、OP．

（1）求證：點D為BC的中點；

（2）求AP的長度；

（3）求證：CP是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）BD＝DC；（2）5；（3）詳見解析.

【解析】

（1）連接AD，由圓周角定理可知∠ADB=90°，證得結論；
（2）根據等腰三角形的性質得到AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD，可得，則BD=DE，所以BD=DE=DC，得到∠DEC=∠DCE，在等腰△ABC中可計算出∠ABC=75°，故∠DEC=75°，再由三角形內角和定理得出∠EDC的度數，再根據BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°，進而得出∠ABP的度數，然后利用OB=OP，可知∠OBP=∠OPB，由三角形內角和定理即可得出∠BOP=90°，則△AOP是等腰直角三角形，易得AP的長度；
（3）設OP交AC于點G，由∠BOP=90°可知∠AOG=90°，在Rt△AOG中，由∠OAG=30°可得＝，由于＝＝，則＝，根據三角形相似的判定可得到△AOG∽△CPG，由相似三角形形的性質可知∠GPC=∠AOG=90°，然后根據切線的判定定理即可得到CP是⊙O的切線．

（1）BD＝DC．理由如下：

如圖1，連接AD，

∵AB是直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC．

（2）如圖1，連接AP．

∵AD是等腰△ABC底邊上的中線，

∴∠BAD＝∠CAD，

∴

∴BD＝DE．

∴BD＝DE＝DC，

∴∠DEC＝∠DCE，

△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，

∴∠DCE＝∠ABC＝（180°﹣30°）＝75°，

∴∠DEC＝75°，

∴∠EDC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，

∵BP∥DE，

∴∠PBC＝∠EDC＝30°，

∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝75°﹣30°＝45°，

∵OB＝OP，

∴∠OBP＝∠OPB＝45°，

∴∠BOP＝90°．

∴△AOP是等腰直角三角形．

∵AO＝AB＝5．

∴AP＝AO＝5；

（3）設OP交AC于點G，如圖1，

則∠AOG＝∠BOP＝90°，

在Rt△AOG中，∠OAG＝30°，

∴＝，

又∵＝＝，

∴＝，

∴＝．

又∵∠AGO＝∠CGP，

∴△AOG∽△CPG，

∴∠GPC＝∠AOG＝90°，

∴OP⊥PC，

∴CP是⊙O的切線．