Question

從一個(gè)等邊三角形（如圖①）開始，把它的各邊分成相等的三段，再在各邊中間一段上向外畫出一個(gè)小等邊三角形，形成六角星圖形（如圖②）；然后在六角星各邊上，用同樣的方法向外畫出更小的等邊三角形，形成一個(gè)有18個(gè)尖角的圖形（如圖③）；如果在其各邊上，再用同樣的方法向外畫出更小的等邊三角形（如圖④）．如此繼續(xù)下去，圖形的輪廓就能形成分支越來越多的曲線，這就是瑞典數(shù)學(xué)家科赫將雪花理想化得到的科赫雪花曲線．

如果設(shè)原等邊三角形邊長(zhǎng)為a，不妨把每一次的作圖變化過程叫做“生長(zhǎng)”，例如，第1次生長(zhǎng)后，得圖②，每個(gè)小等邊三角形的邊長(zhǎng)為

1

3

a，所形成的圖形的周長(zhǎng)為4a．
請(qǐng)?zhí)顚懴卤恚海ㄓ煤琣的代數(shù)式表示）

	第1次 生長(zhǎng)后	第2次 生長(zhǎng)后	第3次 生長(zhǎng)后	…	第n次 生長(zhǎng)后
每個(gè)小等邊 三角形的邊長(zhǎng)	1 3 a			…
所形成的 圖形的周長(zhǎng)	4a			…

Answer 1

分析：找到相鄰兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)之間的關(guān)系：后一個(gè)圖形在前一個(gè)的基礎(chǔ)上多了它的

1

3

，以此類推，即可得到第4次變換后得到的圖形的周長(zhǎng)．邊長(zhǎng)變?yōu)樵瓉淼?span id="8reioav" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

3

．

解答：解：仔細(xì)觀察規(guī)律發(fā)現(xiàn)：每生長(zhǎng)一次，邊長(zhǎng)都變?yōu)樵瓉淼?span id="ekih2kr" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

3

，
即：第一次生長(zhǎng)后，邊長(zhǎng)變?yōu)椋?span id="cfncgns" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

3

a；
第二次生長(zhǎng)后，邊長(zhǎng)變?yōu)?span id="wseucoa" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

3

×

1

3

a=

1

9

a；
第三次生長(zhǎng)后，邊長(zhǎng)變?yōu)椋?span id="t2mlw4a" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

3

×

1

3

×

1

3

=

1

27

a
…
第三次生長(zhǎng)后，邊長(zhǎng)變?yōu)椋?span id="kbab4ue" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">(

1

3

)na；
解：第一次生長(zhǎng)后，周長(zhǎng)：3a×

4

3

=4a
第二次生長(zhǎng)后，周長(zhǎng)：3a×

4

3

×

4

3

，
第三次生長(zhǎng)后，周長(zhǎng)：3a×

4

3

×

4

3

×

4

3

，
…
第n次生長(zhǎng)后，周長(zhǎng)：3a（

4

3

）ⁿ．
故答案為：

	第1次 生長(zhǎng)后	第2次 生長(zhǎng)后	第3次 生長(zhǎng)后	…	第n次 生長(zhǎng)后
每個(gè)小等邊 三角形的邊長(zhǎng)	1 3 a	1 9 a	1 27 a	…	( 1 3 )na
所形成的 圖形的周長(zhǎng)	4a	3a( 4 3 )2	3a（ 4 3 ）3	…	3a（ 4 3 ）n

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圖形的變化類問題，找到后一個(gè)圖形的周長(zhǎng)是前一個(gè)圖形周長(zhǎng)的

4

3

，是解答本題的關(guān)鍵．