Question

14．在數(shù)學(xué)合作學(xué)習(xí)小組活動(dòng)中，小珺所在的小組進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，將邊長(zhǎng)為4的正△ABC與邊長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$的正△CDE按圖1位置放置．BC與CE在同一直線上，線段AE與線段BD相交于點(diǎn)H．
（1）小珺發(fā)現(xiàn)結(jié)論BD=AE和∠AHB=60°成立，請(qǐng)你說(shuō)明理由．
（2）如圖2，小珺將正△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在線段AE上時(shí)，請(qǐng)求出此時(shí)線段BD的長(zhǎng)；
（3）如圖3，小珺將正△CDE繞點(diǎn)C繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)寫(xiě)出△ABH與△DHE面積之和的最大值，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先判斷出∠BCD=∠ACE，進(jìn)而得出△BCD≌△ACE，即可得出BD=AE，∠CBD=∠CAE最后用三角形的內(nèi)角和得出∠AHB=60°，
（2）作出輔助線，利用勾股定理即可計(jì)算得出結(jié)論；
（3）先判斷出點(diǎn)A，C，E在同一條直線時(shí)，△ABH與△DHE面積之和的最大值，最大值是△ABC和△CDE面積之和．

解答 解：（1）∵△ABC，CDE都是等邊三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE，
∴BD=AE，∠CBD=∠CAE，
∵∠ABC+∠CBD=60°，
∴∠BAE+∠ABD=∠BAC+∠ABD+∠CAE=120°，
∴∠AHB=60°；
（2）如圖2，同（1）的方法得出，BD=AE，
過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AE，
∵△CDE是邊長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$的等邊三角形，
∴EF=$\sqrt{3}$，CF=3，
在Rt△ACF中，AC=4，CF=3，
∴AF=$\sqrt{A{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴BD=AE=AF+EF=$\sqrt{7}$+$\sqrt{3}$，
（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥AB，HN⊥DE，
∴S_△ABH=$\frac{1}{2}$AB×MH=2MH，S_△DEH=$\frac{1}{2}$DE×HN=$\sqrt{3}$HN，
∴S_△ABH+S_△DEH=2MH+$\sqrt{3}$HN，
∴△CDE在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)H和點(diǎn)C重合時(shí)，S_△ABH+S_△DEH最大，
即：點(diǎn)A，C，E在同一條直線上，
此時(shí)，S_△ABH+S_△DEH=S_△ABC+S_△CDE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$DE²=4$\sqrt{3}$+3$\sqrt{3}$=7$\sqrt{3}$．
即：△ABH與△DHE面積之和的最大值為7$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是幾何變換綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，極值問(wèn)題，判斷出BD=AE是解本題的關(guān)鍵，難點(diǎn)是點(diǎn)A，C，E在同一直線上時(shí)△ABH與△DHE面積之和最大．