Question

如圖，⊙M與y軸相切于點(diǎn)C，與x軸交于A（2-

3

，0 ），B（2+

3

，0）兩點(diǎn)，D是劣弧AB上一點(diǎn)，且

AD

=

1

2

BD

．
（1）求⊙M的半徑；
（2）P是⊙M上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以P、A、D、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，求∠PAD的度數(shù)；
（3）如圖2，點(diǎn)Q是⊙M上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為OQ的中點(diǎn)，連接CN，當(dāng)點(diǎn)Q在⊙M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CN的最大值為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）如圖1，作ME⊥x軸于E，連接MC，根據(jù)垂徑定理，由ME⊥AB得AE=BE=

3

，則OE=OA+AE=2，再根據(jù)切線的性質(zhì)得到MC⊥y軸，所以四邊形MEOC為矩形，于是得到MC=OE=2；
（2）連接MA、MB，MD，如圖1，在Rt△MAE中利用勾股定理計(jì)算出ME=1，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到∠MAE=30°，則∠AMB=120°，由于

AD

=

1

2

BD

，根據(jù)圓周角定理
得∠AMD=

1

3

∠AMB=40°，然后分類討論：當(dāng)PD∥BA時(shí)，如圖1①，根據(jù)平行線的性質(zhì)與圓周角定理可得∠PAD=20°；當(dāng)PA∥BD時(shí)，如圖1②，∠PAD=60°；當(dāng)PB∥AD時(shí)，如圖1③，∠PAD=120°；
（3）連結(jié)OM，MQ，K點(diǎn)為OM的中點(diǎn)，連結(jié)NK，CK，如圖2，先根據(jù)勾股定理計(jì)算出OM=

5

，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得CK=

5

2

，易得NK為△OQM的中位線，則NK=

1

2

QM=1，
根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到，當(dāng)∠CKN=180°時(shí)，CN最大，此時(shí)CN=CK+NK=

5

2

+1．

解答：解：（1）如圖1，作ME⊥x軸于E，連接MC，
∵A（2-

3

，0）、點(diǎn)B（2+

3

，0），
∴AB=2

3

，
∵M(jìn)E⊥AB，
∴AE=BE=

3

，
∴OE=OA+AE=2-

3

+

3

=2，
∵⊙M與y軸相切于點(diǎn)C，
∴MC⊥y軸，
∴四邊形MEOC為矩形，
∴MC=OE=2，
即⊙M的半徑為2；
（2）連接MA、MB，MD，如圖1，
在Rt△MAE中，∵AE=

3

，MA=2，
∴ME=

MA2-AE2

=1，
∴∠MAE=30°，
∴∠AMB=120°，
∵

AD

=

1

2

BD

，
∴∠AMD=

1

3

∠AMB=40°，
當(dāng)PD∥BA時(shí)，如圖1①，
則∠BAP=∠APD，
∴

AD

=

BP

，
而

AD

=

1

2

BD

，
∴

AD

=

DP

，
∴∠PAD=

1

2

∠AMD=20°；
當(dāng)PA∥BD時(shí)，如圖1②，
∵∠APB=

1

2

∠AMB=60°，
∴∠ADB=180°-∠APB=120°，
∵PA∥BD，
∴∠PAD=180°-∠ADB=60°；
當(dāng)PB∥AD時(shí)，如圖1③，
∵PB∥AD，
∴∠PAD+∠APB=180°，
∵∠APB=

1

2

∠AMB=60°，
∴∠PAD=120°；
（3）連結(jié)OM，MQ，K點(diǎn)為OM的中點(diǎn)，連結(jié)NK，CK，如圖2，
∵OC=1，MC=2，
∴OM=

12+22

=

5

，
∴CK=

5

2

，
∵N點(diǎn)為OQ的中點(diǎn)，
∴NK為△OQM的中位線，
∴NK=

1

2

QM=1，
∵點(diǎn)Q是⊙M上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴當(dāng)∠CKN=180°時(shí)，CN最大，此時(shí)CN=CK+NK=

5

2

+1，
即CN的最大值為

5

2

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理和切線的性質(zhì)；會(huì)利用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．