Question

13．如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，E為BC的中點(diǎn)，連接DE、OD．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）四邊形OBED能否是菱形？如果能，試說明Rt△ABC還應(yīng)滿足什么條件；如果不能，也請說明理由．

Answer 1

分析 （1）欲證明DE是⊙O的切線，只要證明△OED≌△OEB得∠ODE=∠OBE=90°即可．
（2）當(dāng)AB=BC時(shí)，四邊形OBED是菱形，根據(jù)三角形中位線定理即可證明．

解答 （1）證明：如圖連接BD、OE．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
在RT△BCD中，∵∠BDC=90°，EC=EB，
∴DE=EB=EC，
在△OED和△OEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OE}\\{DE=EB}\\{OD=OB}\end{array}\right.$，
∴△OED≌△OEB，
∴∠ODE=∠OBE，
∵∠ABC=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線．
（2）當(dāng)AB=BC時(shí)，四邊形OBED是菱形．
證明：∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵AB=BC，
∴AD=DC，∵AO=OB，
∴OD=$\frac{1}{2}$BC，
∴OD=OB=DE=EB，
∴四邊形ODEB是菱形．

點(diǎn)評 本題考查切線的判定和性質(zhì)、菱形的判定、三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握證明切線的方法，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題，屬于中考常考題型．