Question

已知直線L₁：y₁=2x+3與直線L₂：y₂=kx-1交于A點(diǎn)，A點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1，且直線L₁與x軸交于B點(diǎn)，與y軸交于D點(diǎn)，直線L₂與y軸交于C點(diǎn)．
（1）直線L₂的解析式；
（2）直接寫(xiě)出當(dāng)y₁≤y₂時(shí)，自變量x的取值范圍；
（3）連結(jié)BC，求出S_△ABC；
（4）在直線L₁上是否存在點(diǎn)P，使得S_△BCP=2S_△ABC？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（5）在y軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得S_△BCQ=2S_△ABC？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（6）在y軸上是否存在一點(diǎn)R，使得S_△ABR=2S_△ABC？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)R的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：兩條直線相交或平行問(wèn)題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)A點(diǎn)在直線l₁上，且橫坐標(biāo)為-1，求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)直線l₂過(guò)A點(diǎn)，將（-1，1）代入直線l₂解析式，即可求出答案；
（2）根據(jù)圖象即可求得；
（3）根據(jù)已知得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)l₁與y軸交于D點(diǎn)，得出D點(diǎn)和C點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式得出S_△ABC．
（4）由于△ABC、△BCP同高，根據(jù)已知得出B是AP的中點(diǎn)或A是PB的中點(diǎn)，根據(jù)線段中點(diǎn)的求法即可求得；
（5）設(shè)Q（0，y），根據(jù)S_△BCQ=

1

2

CQ•OB即可求得；
（6）設(shè)C到直線L₁的距離為h₁，R到直線L₁的距離為h₂，根據(jù)

h1

DC

=

h2

DR

，即可求得DR，進(jìn)而即可求得R的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵y₁=2x+3過(guò)A點(diǎn)，A點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1，
∴y₁=-2+3=1，
∴A（-1，1），
把A（-1，1）代入y₂=kx-1得，1=-k-1，解得k=-2，
∴直線L₂的解析式為y₂=-2x-1．
（2）由圖象可得x≤-1時(shí)，y₁≤y₂，
（3）L₁與x軸交于B點(diǎn)，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3

2

，0），L₁與y軸交于D點(diǎn)，
則D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），L₂與y軸交于C點(diǎn)，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），
S_△ABC=S_△BCD-S_△ACD=

1

2

CD•|x_B|-

1

2

CD•|x_A|=1；
（4）存在；
由于△ABC、△BCP同高，若S_△BCP=2S_△ABC，則BP=2AB，
∴B是AP的中點(diǎn)或A是PB的中點(diǎn)，
∵A（-1，1），B（-

3

2

，0），
∴P（-2，-1）或（-

1

2

，2）；
（5）設(shè)Q（0，y），
∵S_△ABC=1，S_△BCQ=2S_△ABC，
∴S_△BCQ=

1

2

CQ•OB=

1

2

|y+1|×

3

2

=2×1，解得y=-

11

3

或y=

5

3

，
∴Q（0，-

11

3

）或（0，

5

3

）．
（6）設(shè)C到直線L₁的距離為h₁，
∵A（-1，1），B（-

3

2

，0），
∴AB=

(- 3 2 +1)+12

=

5

2

∵S_△ABC=

1

2

AB•h₁=1，
∴h₁=

4 5

5

，
∵S_△ABR=2S_△ABC，由于△ABC、△ABR同底，
∴設(shè)R到直線L₁的距離為h₂=

8 5

5

，
∴

h1

DC

=

h2

DR

，
即

4 5 5

4

=

8 5 5

DR

，解得DR=8，
∴R（0，-5）或（0，11）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩直線平行或相交問(wèn)題，要注意利用一次函數(shù)的特點(diǎn)，列出方程，求出未知數(shù)再求得解析式；求三角形的面積時(shí)找出高和底邊長(zhǎng)即可．