Question

13．我們將在直角坐標(biāo)系中圓心坐標(biāo)和半徑均為整數(shù)的圓稱為“整圓”．如圖，直線l：y=kx+3$\sqrt{3}$與軸、軸分別交于A、B，∠OAB=30°，點P在軸上，⊙P與l相切，當(dāng)P在線段OA上運動時，使得⊙P成為整圓的點P個數(shù)是4．

Answer 1

分析 根據(jù)直線的解析式求得OB=3$\sqrt{3}$，進(jìn)而求得OA=9，根據(jù)切線的性質(zhì)求得PM⊥AB，根據(jù)∠OAB=30°，求得PM=$\frac{1}{2}$PA，然后根據(jù)“整圓”的定義，即可求得使得⊙P成為整圓的點P的坐標(biāo)，從而求得點P個數(shù)．

解答 解：∵直線l：y=kx+3$\sqrt{3}$與x軸、y軸分別交于A、B，
∴B（0，3$\sqrt{3}$），
∴OB=3$\sqrt{3}$，
在Rt△AOB中，∠OAB=30°，
∴OA=$\sqrt{3}$OB=$\sqrt{3}$×3$\sqrt{3}$=9，
∵⊙P與l相切，設(shè)切點為M，連接PM，則PM⊥AB，
∴PM=$\frac{1}{2}$PA，
設(shè)P（x，0），
∴PA=9-x，
∴⊙P的半徑PM=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{9}{2}$-$\frac{1}{2}$x，
∵x為整數(shù)，PM為整數(shù)，
∴x可以取1，3，5，7，4個數(shù)，
∴使得⊙P成為整圓的點P個數(shù)是4．
故答案為4

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．