Question

如圖①，OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在軸的正半軸上，點(diǎn)C在軸的正半軸上，OA=5，OC=4.

（1）在OC邊上取一點(diǎn)D，將紙片沿AD翻折，使點(diǎn)O落在BC邊上的點(diǎn)E處，求D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖②，若AE上有一動(dòng)點(diǎn)P（不與A、E重合）自A點(diǎn)沿AE方向向E點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，過P點(diǎn)作ED的平行線交AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作AE的平行線交DE于點(diǎn)N.求四邊形PMNE的面積S與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)取何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的條件下，當(dāng)為何值時(shí)，以A、M、E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，并求出相應(yīng)時(shí)刻點(diǎn)M的坐標(biāo).

 

                                

Answer 1

解：（1）依題意可知，折痕AD是四邊形OAED的對(duì)稱軸，

∴在中，

∴     ∴

∴點(diǎn)坐標(biāo)為…………………………………………………（1分）

在中，   又∵

∴      解得：

∴點(diǎn)坐標(biāo)為……………………………………………………（2分）

     （2）如圖①∵∥  ∴

∴  又知 

∴   又∵

而顯然四邊形為矩形

             ∴……………（3分）∴  又∵

∴當(dāng)時(shí)，有最大值（面積單位）……………（1分）

（3）（i）若（如圖①）

在中，，

∴為的中點(diǎn)

又∵∥ ，

∴為的中點(diǎn)

  ∴  ∴   ∴

又∵與是關(guān)于對(duì)稱的兩點(diǎn)

∴ ，

∴當(dāng)時(shí)（），為等腰三角形

此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為………………………………………………（2分）

（ii）若（如圖②）

 在中，

           ∵∥ ，∴，∴

           ∴  ∴

同理可知： ，

∴當(dāng)時(shí)（），此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為………………（2分）

綜合（i）、（ii）可知：或時(shí)，以A、M、E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，相應(yīng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為或………………………………（1分）