Question

【題目】四邊形為矩形，連接，，點在邊上．

（1）如圖①，若，，求的面積；

（2）如圖②，延長至點，使得，連接并延長交于點，過點作于點，連接，求證：；

（3）如圖③，將線段繞點旋轉一定的角度（）得到線段，連接，點始終為的中點，連接．已知，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）根據30°的直角三角形求CD和ED，再利用面積公式求△AEC的面積；

（2）作輔助線，構建全等三角形，證明△AFM≌△ADH，得AM＝AH，FM＝DH，則△MAH是等腰直角三角形，有MH＝AH，根據線段的和代入得結論；

（3）分別計算DN的最大值和最小值，連接AC和BD交于O，當DN在BD上，可得DN的最大值和最小值．

解：（1）如圖1，在Rt△EDC中，

∵∠ECD＝30°，

∴，，

∴DC＝ECcos30°＝4×＝2，

∴AE＝2DC－ED＝4－2，

∴S△AEC＝×AE×DC＝（4－2）×2＝12－2；

（2）如圖2，過A作AM⊥AH，交FG于M，

∴∠MAH＝∠MAD＋∠DAH＝90°，

又∵∠FAD＝∠MAD＋∠FAM＝90°，

∴∠FAM＝∠DAH，

∵AF∥CD，

∴∠F＝∠FGD

∵DH⊥EG，

∴∠DHE＝∠HDG＋∠FGD＝90°，

∠EDG＝∠EDH＋∠HDG＝90°，

∴∠FGD＝∠EDH，

∴∠F＝∠EDH，

又∵AF＝2CD，AD＝2CD，

∴AF＝AD，

∴△AFM≌△ADH，

∴AM＝AH，FM＝DH，

∴△MAH是等腰直角三角形，

∴MH＝AH，

∵FH＝MH＋FM，

∴FH＝AH＋DH；

（3）∵線段AE繞點A旋轉一定的角度α（0°＜α＜360°）得到線段AE′，

∴E'的運動軌跡是一個以點A為圓心半徑為4的圓，

連接AC，BD交于點O，

∵點O、N為AC、CE′的中點，

∴ON＝AE′＝2，

∵CD＝4，

∴BC＝AD＝2CD＝8，

在Rt△BCD中，，

∴

∴如圖3，當DN在對角線BD上時，DN的長最小，DN＝OD－ON＝2－2，

此時DN的值最小是2－2；

當α＞180°時，DN在BD上，如圖4，DN最長，

∴DN＝OD＋ON＝2＋2，

∵0°＜α＜360°，

∴2－2≤DN≤2＋2．