Question

如圖（1），△ABC為等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)D在邊CA上，由C向A方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P邊BC上，由B向C運(yùn)動(dòng)，若這兩點(diǎn)分別從C、B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度運(yùn)動(dòng)，連接AP，BD交于點(diǎn)Q，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中
（1）AP=BD；
（2）探究：如果把原題中“動(dòng)點(diǎn)D在邊CA上，動(dòng)點(diǎn)P邊BC上，”改為“動(dòng)點(diǎn)D，P在射線CA和射線BC上運(yùn)動(dòng)”，其他條件不變，如圖（2）所示，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中∠BQP的大小保持不變．請(qǐng)你利用圖（2）的情形，求證：∠BQP=60°；
（3）應(yīng)用：如果把原題中“動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上，由B向C運(yùn)動(dòng)”改為“動(dòng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上由點(diǎn)B向F運(yùn)動(dòng)，連接PD交BC于E”，其他條件不變，如圖（3），則動(dòng)點(diǎn)D，P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，
①請(qǐng)猜想DE=線段

 

；
②根據(jù)上述猜想，加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證∠C=∠ABC=60°，即可證明△ABP≌△BCD，可得BD=AP；
（2）易證∠BAD=∠ACP=120°，即可證明△ABD≌△CAP，可得∠ABD=∠PAC，根據(jù)∠APC+∠PAC=∠ACB=60°即可求得∠BQP=60°；
（3）作DF∥AB，易證∠EDF=∠BPE和DF=BP，即可證明△DEF≌△PEB，可得DE=PE．

解答：證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠C=∠ABC=60°，
∵在△ABP和△BCD中，

AB=BC ∠ABC=∠C BP=CD

，
∴△ABP≌△BCD，（SAS）
∴BD=AP；
（2）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠C=∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠ACP=120°，
∵在△ABD和△CAP中，

AD=CP ∠BAD=∠ACP AB=AP

，
∴△ABD≌△CAP，（SAS）
∴∠ABD=∠PAC，
∵∠BQP=180°-∠APC-∠PBQ=180°-∠APC-∠CBA-∠ABD，
∠APC+∠PAC=∠ACB=60°，
∴∠BQP=180°-∠APC-∠CBA-∠ABD=180°-∠CBA-∠ACB=60°；
（3）作DF∥AB，

∵DF∥AB，
∴△CDF是等邊三角形，∠EDF=∠BPE，
∴DF=CD，
∵CD=BP，
∴DF=BP，
∵在△DEF和△PEB中，

∠DEF=∠PBE ∠EDF=∠BPE DF=BP

，
∴△DEF≌△PEB，（AAS）
∴DE=PE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ABP≌△BCD、△ABD≌△CAP和△DEF≌△PEB是解題的關(guān)鍵．