Question

如圖1，AB=AE，AC=AD，∠BAE=∠CAD=90°．
（1）證明：EC=BD；
（2）證明：EC⊥BD；
（3）如圖2，連接ED，若N點(diǎn)為DE的中點(diǎn)，連接NA并延長(zhǎng)與BC交于點(diǎn)M，證明：AM⊥BC．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）求出∠CAE=∠BAD，證出△BAD≌△EAC即可；
（2）根據(jù)△BAD≌△EAC，推出∠D=∠ACE，根據(jù)∠D+∠AMD=90°求出∠ACE+∠CMO=90°，求出∠COM=90°即可；
（3）延長(zhǎng)AN到H，使NH=AN，連接EH、DH，求出四邊形ADHE是平行四邊形，推出∠DHN=∠EAH，AE=DH=AB，求出∠ADH=∠BAC，證△ADH≌△ACB，推出∠AHD=∠B，求出∠B+∠BAM=90°即可．

解答：證明：（1）∵∠BAE=∠CAD=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，
∴∠CAE=∠BAD，
在△BAD和△EAC中，

BA=AE ∠BAD=∠EAC AD=AC

，
∴△BAD≌△EAC（SAS），
∴EC=BD；

（2）∵△BAD≌△EAC，
∴∠D=∠ACE，
∵∠DAC=90°，
∴∠D+∠AMD=90°，
∵∠AMD=∠CMO，
∴∠ACE+∠CMO=90°，
∴∠COM=90°，
∴EC⊥BD；


（3）延長(zhǎng)AN到H，使NH=AN，連接EH、DH，
∵N為DE中點(diǎn)，
∴四邊形ADHE是平行四邊形，
∴∠DHN=∠EAH，AE=DH=AB，
∵∠EAD+∠BAC=180°，∠EAD+∠ADH=180°，
∴∠ADH=∠BAC，
在△ADH和△ACB中，

AD=AC ∠ADH=∠BAC DH=AB

，
∴△ADH≌△ACB（SAS），
∴∠AHD=∠B，
∵N、A、M是一條直線，
∴∠EAH+∠BAM=90°，
∴∠B+∠BAM=90°，
∴MN⊥BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，題目比較典型，有一定的難度．