Question

5．如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O的半徑為5，⊙O上有定點C和動點P，它們位于直徑AB的異側(cè)，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q，若tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，則線段CQ長度的最大值為（　　）

• A． 10
• B． $\frac{15}{2}$
• C． $\frac{40}{3}$
• D． $\frac{20}{3}$

Answer 1

分析 由AB為直徑和PC⊥CQ可得出∠PCQ=90°=∠ACB，又由∠P與∠A為同弦所對的圓周角，可得出∠P=∠A，從而得出△ACB∽△PCQ，即得出CQ=$\frac{CB}{AC}$•CP，由tan∠ABC的值可得出CQ=$\frac{4}{3}$CP，當CP最大時，CQ也最大，而CP為圓內(nèi)一弦，故CP最大為直徑，由此得出CQ的最大值．

解答 解：∵線段AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵CQ⊥PC，
∴∠PCQ=90°=∠ACB，
又∵∠P=∠A（同弦圓周角相等），
∴△ACB∽△PCQ，
∴$\frac{CQ}{CB}$=$\frac{CP}{AC}$．
在Rt△ACB中，tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}$，
∴CQ=$\frac{CB}{AC}$•CP=$\frac{4}{3}$CP．
∵線段CP是⊙O內(nèi)一弦，
∴當CP過圓心O時，CP最大，且此時CP=10．
∴CQ=$\frac{4}{3}$×10=$\frac{40}{3}$．
故選C．

點評 本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定及性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是得出CQ=$\frac{4}{3}$CP．本題屬于中檔題，難度不大，在解決該題中巧妙的運用了三角形相似得出比例關(guān)系，化求CQ的最值為求CP的最值．