Question

（1）已知：如圖1，△ABC為正三角形，點M為BC邊上任意一點，點N為CA邊上任意一點，且BM=CN，BN與AM相交于Q點，試求∠BQM的度數(shù)．
（2）如果將（1）中的正三角形改為正方形ABCD（如圖2），點M為BC上任意一點，點N為CD邊上任意一點，且BM=CN，BN與AM相交于Q點，那么∠BQM等于多少度呢？說明理由．

（3）如果將（1）中的“正三角形”改為正五邊形…正n邊形（如圖3），其余條件都不變，請你根據(jù)（1）、（2）的求解思路，將你推斷的結(jié)論填入下表：（注：正多邊形的各個角都相等）

正多邊形	正五邊形	…	正n邊形
∠BQM的度數(shù)		…

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠C=60°，AB=BC，再根據(jù)BM=CN，證出△ABM≌△BCN，得出∠BAM=∠CBN，再根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，即可得出∠BQM的值．
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠ABC=∠C=90°，AB=BC，同（1）得出∠BQM的值．
（3）根據(jù)正五邊形以及多邊形的性質(zhì)證出∠ABC=∠C的度數(shù)，再同（1）證出△ABM≌△BCN，得出∠BAM=∠CBN，即可求出∠BQM的值．

解答：解：（1）∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC，
在△ABM和△BCN中，
∵

AB=BC ∠ABC=∠C BM=CN

，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠CBQ+∠ABQ=∠ABC=60°
∴∠BQM=60°．

（2）∵ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC，
在△ABM和△BCN中，
∵

AB=BC ∠ABC=∠C BM=CN

，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BQM=∠ABN+∠BAM，
∴∠BQM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=90°

（3）∵ABCDE是正五邊形，
∴∠ABC=∠C=108°，AB=BC，
在△ABM和△BCN中，
∵

AB=BC ∠ABC=∠C BM=CN

，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BQM=∠ABN+∠BAM，
∴∠BQM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=108°，
同理可證：當(dāng)圖形是正n邊形時，∠BQM的度數(shù)是：

(n-2)•180°

n

；

正多邊形	正五邊形	…	正n邊形
∠BQM的度數(shù)	108°	…	(n-2)•180° n

點評：本題重點考查了三角形全等的判定定理，用到的知識點是全等三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和外角的關(guān)系．解題的關(guān)鍵是證出△ABM≌△BCN，是一道基礎(chǔ)題．