Question

20．如圖，在等邊△ABC中，AB=4，N為線段AB上的任意一點，∠BAC的平分線交BC于點D，M是AD上的動點，連結(jié)BM、MN，則BM+MN的最小值是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 過C作CN⊥AB于N，交AD于M，連接BM，根據(jù)兩點之間線段最短和垂線段最短得出此時BM+MN最小，由于C和B關(guān)于AD對稱，則BM+MN=CN，根據(jù)勾股定理求出CN，即可求出答案．

解答 解：過C作CN⊥AB于N，交AD于M，連接BM，則BM+MN最�。ǜ鶕�(jù)兩點之間線段最短；點到直線垂直距離最短），由于C和B關(guān)于AD對稱，則BM+MN=CN，
∵等邊△ABC中，AD平分∠CAB，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分線（三線合一），
∴C和B關(guān)于直線AD對稱，
∴CM=BM，
即BM+MN=CM+MN=CN，
∵CN⊥AB，
∴∠CNB=90°，CN是∠ACB的平分線，AN=BN（三線合一），
∵∠ACB=60°，
∴∠BCN=30°，
∵AB=4，
∴BN=$\frac{1}{2}$AB=2，
在△BCN中，由勾股定理得：CN=$\sqrt{B{C}^{2}-B{N}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，即BM+MN的最小值是2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查的是軸對稱-最短路線問題，涉及到等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識點的綜合運用．