Question

（2007•蕪湖）如圖，PQ=3，以PQ為直徑的圓與一個以5為半徑的圓相切于點P，正方形ABCD的頂點A、B在大圓上，小圓在正方形的外部且與CD切于點Q．則AB=    ．

Answer 1

【答案】分析：連接MA，MP，延長PQM與AB交于E，構建直角三角形，解出直角三角形即可．
解答：解：設大圓的圓心為M點，連接MA，MP，MB，連接PM并延長與AB交于點E，交小圓于Q點，
由對稱性可知P、Q為切點，E為AB的中點；
設AB=2a（正方形的邊長），在直角三角形MAE中，
∵小圓在正方形的外部且與CD切于點Q．
∴PQ⊥CD，
∵CD∥AB，
∴PE⊥AB，
∴AE=BE，
∴AM²=ME²+AE²，
∵PQ=3，
∴ME=2a+3-5=2a-2，
∴5²=（2a-2）²+a²
解得，a=3或-1.4（舍去）
所以AB=6．
點評：解決本題的難點是作出輔助線構造直角三角形．