Question

17．如圖，E、F分別是AD和BC上的兩點(diǎn)，EF將四邊形ABCD分成兩個(gè)邊長為5cm的正方形，∠DEF=∠EFB=∠B=∠D=90°；點(diǎn)H是CD上一點(diǎn)且CH=lcm，點(diǎn)P從點(diǎn)H出發(fā)，沿HD以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C以5cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．任意一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)即停止運(yùn)動(dòng)；連結(jié)EP、EQ．
（1）如圖1，點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)QF，當(dāng)t=$\frac{1}{4}$時(shí)，QF∥EP；
（2）如圖2，若QE⊥EP，求出t的值；
（3）試探究：當(dāng)t為何值時(shí)，△EPD的面積等于△EQF面積的$\frac{7}{10}$．

Answer 1

分析 （1）假設(shè)EP∥FQ，得到∠PEF=∠EFQ，由等角的余角相等，得∠QFB=∠DEP，通過正切關(guān)系，得到BQ與PD關(guān)系，求出t；
（2）通過△QEF≌△PED，得到FQ與PD間關(guān)系，進(jìn)而求出t的值；
（3）分類討論：①當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)Q在BF上時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)Q在CF上時(shí)，分別求出t．

解答 解：（1）由題意知：ED=FB=5cm，∠D=∠B=∠DEF=∠EFB=90°，
若EP∥FQ時(shí)，∠PEF=∠EFQ，
∴∠DEP=∠DEF-∠PEF=∠EFB-∠EFQ=∠QFB，
∴tan∠QFB=$\frac{QB}{BF}=\frac{DP}{DE}$=tan∠DEP，
所以BQ=DP．
∵BQ=5-5t，DP=DC-CH-PH=5-1-t=4-t，
∴5-5t=4-t，
∴t=$\frac{1}{4}$；
答案：$\frac{1}{4}$．

（2）如圖所示，若QE⊥EP，則∠QEP+∠FEP=90°，
又∵∠DEP+∠PEF=90°，
∴∠QEF=∠DEP
在△QEF和△PED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠QEF=∠DEP}\\{EF=ED}\\{∠D=EFQ}\end{array}\right.$

∴△QEF≌△PED，
∴QF=DP．
∵FQ=10-5t，DP=4-t，
∴10-5t=4-t，
∴t=$\frac{3}{2}$．

（3）①如圖所示，過Q做QM⊥EF，垂足為M．
由于四邊形ABFE是正方形，所以QM=AE=5cm．
當(dāng)0＜t≤1時(shí)，S_△EQF=$\frac{1}{2}$EF×QM=$\frac{1}{2}×5×5=12.5$，S_△EPD=$\frac{1}{2}$ED×DP=$\frac{1}{2}×5×（4-t）$，
當(dāng)$\frac{7}{10}$S_△EQF=S_△EPD時(shí)，即$\frac{7}{10}$×12.5=$\frac{1}{2}$×5×（4-t），
解得，t=0.5；

②當(dāng)1＜t≤2時(shí)，S_△EQF=$\frac{1}{2}$×EF×FQ=2.5FQ，S_△EPD=$\frac{1}{2}$ED×DP=$\frac{1}{2}$×5×（4-t），
∵FQ=10-5t，
∴$\frac{7}{10}$×2.5（10-5t）=$\frac{1}{2}$×5×（4-t），
解得：t=$\frac{6}{5}$；

③當(dāng)2＜t≤3時(shí)，S_△EQF=$\frac{1}{2}$FQ×EF=2.5（5t-10），S_△EPD=$\frac{1}{2}$ED×DP=$\frac{1}{2}$×5×（4-t），
∴$\frac{7}{10}$×2.5×（5t-10）=2.5（4-t），
解得：t=$\frac{22}{9}$．

點(diǎn)評 點(diǎn)評：本題是一個(gè)比較基礎(chǔ)的四邊形綜合題，主要考察了正方形的性質(zhì)和三角形的面積計(jì)算．本題重點(diǎn)考察了分類討論的思想，確定點(diǎn)Q所在的位置，是解決本題的關(guān)鍵．