Question

8．（1）已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x²+bx+（a-c）=0，其中a，b，c分別為△ABC的邊長．若（a，b），c分別為⊙M的圓心坐標(biāo)和半徑，則稱⊙M為△ABC的“伴侶圓”．
①當(dāng)△ABC為等邊三角形，求方程的根；
②當(dāng)⊙M與坐標(biāo)軸有三個交點時，△ABC是C 三角形；
A．等腰      B．直角      C．等腰或直角     D．等邊
（2）若一元二次方程（a+c）x²+bx+（a-c）=0的根為-1和$\frac{1}{2}$，且a，b，c為連續(xù)的整數(shù)．
①求a，b，c的值；
②如圖，BC是半圓直徑，AB⊥BC，CD⊥BC，邊AB，BC，CD的長分別為a，b，c的值，P為半圓上一動點，求多邊形ABCDP面積的最大值是2+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用△ABC是等邊三角形，則a=b=c，進而代入方程求出即可．
（2）利用圓與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系即可求得，
（3）①根據(jù)三角形的面積公式和射影定理即可得到函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式即可求得．
②因為五邊形ABCDP的面積=四邊形ABCD的面積-△APD的面積，所以只要求出△ADP面積的最小值，
作EF∥AD，且與⊙O相切于點O，連接OP延長OP交AD于H，易知此時點P到AD的距離最小，此時△ADP的面積最小，延長即可解決問題．

解答 （1）當(dāng)△ABC是等邊三角形，a=b=c，
（a+c）x²+bx+（a-c）=0，
可整理為：2ax²+ax=0，
2x²+x=0，
解得：x₁=0，x₂=-$\frac{1}{2}$．
（2）若（a，b），c分別為⊙M的圓心坐標(biāo)和半徑，當(dāng)圓與y軸相切時，a²+b²=c²；當(dāng)圓與x軸相切時，b=c；
故△ABC是直角或等腰三角形，
故選C．
（3）①∵方程的根為-1和$\frac{1}{2}$，
∴-1+$\frac{1}{2}$=-$\frac{a+c}$，-1×$\frac{1}{2}$=$\frac{a-c}{a+c}$，
∴2b=a+c，c=3a，
∴b=2a，
∵a，b，c為連續(xù)的整數(shù)，
∴a=1，b=2，c=3；
②∵五邊形ABCDP的面積=四邊形ABCD的面積-△APD的面積，
∴只要求出△ADP面積的最小值，
作EF∥AD，且與⊙O相切于點O，連接OP延長OP交AD于H，
易知此時點P到AD的距離最小，此時△ADP的面積最小，
易知AD=2$\sqrt{2}$，
∵四邊形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$（1+3）×2=4=$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$•AD•OH+$\frac{1}{2}$•1•3，
∴OH=$\sqrt{2}$，
∴PH=$\sqrt{2}$-1，
∴△PAD的面積最小值為2-$\sqrt{2}$，
∴ABCDP面積的最大值是4-（2-$\sqrt{2}$）=2+$\sqrt{2}$．
故答案為2+$\sqrt{2}$．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及根的判別式和勾股定理等知識，正確由已知獲取函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．