Question

如圖，正方形ABCD中，AB=2，動點E從點A出發(fā)向點D運動，同時動點F從點D出發(fā)向點C運動，點E、F運動的速度相同，當(dāng)它們到達各自終點時停止運動，運動過程中線段AF、BE相交于點P，則線段DP的最小值為__________．

Answer 1

﹣1．

【考點】軌跡；圓周角定理；點與圓的位置關(guān)系．

【分析】首先判斷出△ABE≌△DAF，即可判斷出∠DAF=∠ABE，再根據(jù)∠ABE+∠BEA=90°，可得∠FAD+∠BEA=90°，所以∠APB=90°；然后根據(jù)點P在運動中保持∠APB=90°，可得點P的路徑是一段以AB為直徑的弧，設(shè)AB的中點為G，連接CG交弧于點P，此時CP的長度最小，最后在Rt△AGD中，根據(jù)勾股定理，求出DG的長度，再求出PG的長度，即可求出線段DP的最小值為多少．

【解答】解：如圖：

，

∵動點F，E的速度相同，

∴DF=AE，

又∵正方形ABCD中，AB=2，

∴AD=AB，

在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF，

∴∠ABE=∠DAF．

∵∠ABE+∠BEA=90°，

∴∠FAD+∠BEA=90°，

∴∠APB=90°，

∵點P在運動中保持∠APB=90°，

∴點P的路徑是一段以AB為直徑的弧，

設(shè)AB的中點為G，連接CG交弧于點P，此時CP的長度最小，

AG=BG=AB=1．

在Rt△BCG中，DG===，

∵PG=AG=1，

∴DP=DG﹣PG=﹣1

即線段DP的最小值為﹣1，

故答案為：﹣1．

【點評】本題考查了軌跡，解答此題的關(guān)鍵是判斷出什么情況下，DP的長度最小，利用了了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)和應(yīng)用，以及勾股定理的應(yīng)用，要熟練掌握．