Question

【題目】如圖，在中，，.

（1）如圖1，若直線與相交于，過點作于，連接并延長至，使得，過點作于，證明：.

（2）如圖2，若直線與的延長線相交于，過點作于，連接并延長至，使得，過點作交的延長線于，探究：、、之間的數量關系，并證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）AD+BD=EF,證明見解析

【解析】

（1）根據△ABC為等腰直角三角形，把△ABD逆時針旋轉90°至△ACG，得到BD=GC，再延長GC交DE于H點，根據AD⊥BE可證四邊形ADHG為正方形，得到AD=GH，再證明△DEF≌△DCH，得到EF=CH,則可證明；

（2）作CM⊥DA,先證明△DEF≌△CDM，得到EF=DM,再證明△ADB≌△CMA，得到BD=AM，根據AD+AM=DM=EF即可求解.

（1）如圖，∵，.

∴△ABC為等腰直角三角形，

把△ABD逆時針旋轉90°至△ACG，

∴BD=CG，

延長GC交DE于H點，

∵AD⊥BE，∠DAG=90°=∠AGC，AD=AG,

∴四邊形ADHG為正方形，

故∠DHC=90°，

∴AD=GH，

∵，，∠EDF=∠CDH

∴△DEF≌△DCH，

∴EF=CH,

∴；

（2）AD+BD=EF,理由如下：

如圖，作CM⊥DA，

∵AD⊥BE，

∴∠1+∠2=90°，

∵∠DCM+∠2=90°

∴∠1=∠DCM

∵∠F=∠DMC=90°，DE=DC

∴△DEF≌△CDM，

∴EF=DM,

∵.

∴∠DAB+∠MAC=90°，

又∠DAB+∠DBA=90°

∴∠MAC=∠DBA

又AB=AC

∴△ADB≌△CMA，

∴BD=AM，

∴AD+BD=AD+AM=DM=EF

即AD+BD=EF,