Question

11．已知拋物線y=x²-mx+2m-4．
（1）求證：不論m為何實數(shù)，拋物線總與x軸有交點；
（2）當拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在y軸左側(cè)，點B在y軸右側(cè)），且OA與OB的比為2：1時，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先計算判別式的值，再利用非負數(shù)的性質(zhì)判斷△≥0，然后根據(jù)△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)可判斷不論m為何實數(shù)，拋物線總與x軸有交點；
（2）設A（-2t，0），B（t，0），（t＞0），利用交點式得到y(tǒng)=（x+2t）（x-t）=x²+tx-2t²，于是-m=t，2m-4=-2t²，消去t得到2m-4=-2m²，解得m₁=-2，m₂=1，然后利用t=-m＞0可確定m的值．

解答 （1）證明：△=（-m）²-4（2m-4）
=m²-8m+126
=（m-4）²，
∵（m-4）²≥0，即△≥0，
∴不論m為何實數(shù)，拋物線總與x軸有交點；
（2）解：設A（-2t，0），B（t，0），（t＞0），
則y=（x+2t）（x-t）=x²+tx-2t²，
所以-m=t，2m-4=-2t²，
所以2m-4=-2m²，
整理得m²+m-2=0，解得m₁=-2，m₂=1，
而t=-m＞0，
所以m的值為-2．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標轉(zhuǎn)化為解關于x的一元二次方程；△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．