Question

1．如圖，在△ABC中，點D為△ABC內(nèi)一點，連接AD，BD，CD，∠DBC=∠ACD=30°，∠ADC=90°，DB=3，BC=8，則AB的長為$\frac{10}{3}\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 過D作DP⊥BD，作∠BPD=30°，連接BP，CP，于是得到△DAC∽△DBP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{DB}{DP}=\frac{DA}{DC}$，由∠BDA=∠PDC，證得△BDA∽△PDC，在Rt△BDP中，確定BP=6，DP=3$\sqrt{3}$，CP=10，于是根據(jù)$\frac{AB}{CP}=\frac{DB}{DP}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：過D作DP⊥BD，作∠BPD=30°，連接BP，CP，
∴∠BDP=∠ADC=90°，∠BPD=∠ACD=30°，
∴△DAC∽△DBP，
∴$\frac{DB}{DP}=\frac{DA}{DC}$，
∵∠BDP+∠ADP=∠ADP+∠ADC，
∴∠BAD=∠PDC，
∴△BDA∽△PDC，
在Rt△BDP中，
∵∠BPD=30°，
∴BP=6，DP=3$\sqrt{3}$，∠PBD=60°，
∴∠PBC=60°+30°=90°，
∴CP=10，
∵$\frac{AB}{CP}=\frac{DB}{DP}$，
即AB=$\frac{3}{3\sqrt{3}}$×10=$\frac{10}{3}\sqrt{3}$．
故答案為：$\frac{10}{3}\sqrt{3}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．