Question

18．如圖1，兩個不全等的等腰直角三角形OAB和OCD疊放在一起，并且有公共的直角頂點O．
（1）在圖1中，你發(fā)現線段AC、BD的數量關系是AC=BD；直線AC、BD的位置關系是AC⊥BD．
（2）將圖1的△OAB繞點O順時針旋轉90°角，在圖2中畫出旋轉后的△OAB．
（3）將圖1中的△OAB繞點O順時針旋轉一個銳角，連接AC、BD得到圖3，這時（1）中的兩個結論是否成立？作出判斷并說明理由．若△OAB繞點O繼續(xù)旋轉更大的角時，結論仍然成立嗎？作出判斷，不必說明理由．

Answer 1

分析 （1）由△OAB和△OCD都是等腰直角三角形，即可判斷出AC=DB，直線AC、BD相交成角的度數是90°；
（2）根據題意畫出圖形即可；
（3）由SAS證明△ACO≌△BOD，即可證明兩個結論仍然成立．

解答 解：（1）∵△OAB和△OCD都是等腰直角三角形，且疊放在一起，
∴OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，
∴AC=BD，AC⊥BD，
即線段AC、BD的數量關系是相等，直線AC、BD的位置關系是互相垂直；
故答案為：AC=BD，AC⊥BD；
（2）如圖2所示：
（3）將圖1中的△OAB繞點O順時針旋轉一個銳角，（1）中的兩個結論是否成立；理由如下：
∵旋轉一個銳角后，∠COA+∠AOD=90°，∠BOD+∠AOD=90°，
∴∠COA=∠BOD，
在△COA和△DOB中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OD}&{\;}\\{∠COA=∠BOD}&{\;}\\{OA=OB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC=BD．
延長CA交OD于H，交BD于E，如圖3所示：
∵△COA≌△DOB，
∴∠OCA=∠BDO，又∠DHE=∠CHO，
∴∠CED=∠COD=90°，
∴AC⊥BD；
將△OAB繞點O繼續(xù)旋轉更大的角時，結論仍然成立．理由同上．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了旋轉的性質、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關鍵．