Question

如圖，△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC，交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F．
（1）判斷OE與OF的大小關(guān)系？并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說(shuō)出你的理由；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)△ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形AECF會(huì)是正方形．

Answer 1

分析：（1）利用角平分線的性質(zhì)的得出，∠1=∠2，進(jìn)而得出，∠3=∠2，即可得出OE與OF的大小關(guān)系；
（2）首先的很粗四邊形AECF是平行四邊形，進(jìn)而得出∠ECF=90度，再利用矩形的判定得出即可；
（3）由（2）證明可知，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，進(jìn)而得出AC⊥MN，即可得出答案．

解答：（1）證明：∵CE平分∠ACB，∴∠1=∠2，
又∵M(jìn)N∥BC，
∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，
∴EO=CO，同理，F(xiàn)O=CO，
∴EO=FO．

（2）解：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．
理由：∵EO=FO，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，∴∠2+∠4=

1

2

×180°=90°．
即∠ECF=90度，∴平行四邊形AECF是矩形．

（3）解：當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí)，即∠ACB=90°時(shí)，四邊形AECF會(huì)是正方形，
理由：由（2）證明可知，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，
∵∠ACB=90°，CE、CN分別是∠ACB與∠ACB的外角平分線，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=45°，
∴AC⊥MN，
∴四邊形AECF是正方形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了矩形的判定、平行四邊形的判定以及正方形的判定等知識(shí)，正確區(qū)分它們的定義是解題關(guān)鍵．