Question

3．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，將△ADE沿DE翻折，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，當(dāng)A'E⊥AC時(shí)，A'B=$\sqrt{2}$或7$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 分兩種情況：
①如圖1，作輔助線，構(gòu)建矩形，先由勾股定理求斜邊AB=10，由中點(diǎn)的定義求出AD和BD的長(zhǎng)，證明四邊形HFGB是矩形，根據(jù)同角的三角函數(shù)列式可以求DG和DF的長(zhǎng)，并由翻折的性質(zhì)得：∠DA′E=∠A，A′D=AD=5，由矩形性質(zhì)和勾股定理可以得出結(jié)論：A′B=$\sqrt{2}$；
②如圖2，作輔助線，構(gòu)建矩形A′MNF，同理可以求出A′B的長(zhǎng)．

解答 解：分兩種情況：
①如圖1，過(guò)D作DG⊥BC與G，交A′E與F，過(guò)B作BH⊥A′E與H，
∵D為AB的中點(diǎn)，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=AD，
∵∠C=90，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴BD=AD=5，
sin∠ABC=$\frac{DG}{BD}=\frac{AC}{AB}$，
∴$\frac{DG}{5}=\frac{8}{10}$，
∴DG=4，
由翻折得：∠DA′E=∠A，A′D=AD=5，
∴sin∠DA′E=sin∠A=$\frac{BC}{AB}=\frac{DF}{A′D}$，
∴$\frac{6}{10}=\frac{DF}{5}$，
∴DF=3，
∴FG=4-3=1，
∵A′E⊥AC，BC⊥AC，
∴A′E∥BC，
∴∠HFG+∠DGB=180°，
∵∠DGB=90°，
∴∠HFG=90°，
∵∠EHB=90°，
∴四邊形HFGB是矩形，
∴BH=FG=1，
同理得：A′E=AE=8-1=7，
∴A′H=A′E-EH=7-6=1，
在Rt△AHB中，由勾股定理得：A′B=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$；
②如圖2，過(guò)D作MN∥AC，交BC與于N，過(guò)A′作A′F∥AC，交BC的延長(zhǎng)線于F，延長(zhǎng)A′E交直線DN于M，
∵A′E⊥AC，
∴A′M⊥MN，A′E⊥A′F，
∴∠M=∠MA′F=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠F=∠ACB=90°，
∴四邊形MA′FN是矩形，
∴MN=A′F，F(xiàn)N=A′M，
由翻折得：A′D=AD=5，
Rt△A′MD中，∴DM=3，A′M=4，
∴FN=A′M=4，
Rt△BDN中，∵BD=5，
∴DN=4，BN=3，
∴A′F=MN=DM+DN=3+4=7，
BF=BN+FN=3+4=7，
Rt△ABF中，由勾股定理得：A′B=$\sqrt{{7}^{2}+{7}^{2}}$=7$\sqrt{2}$；
綜上所述，A′B的長(zhǎng)為$\sqrt{2}$或7$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$或7$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)、三角函數(shù)及解直角三角形的有關(guān)知識(shí)，作輔助線構(gòu)建矩形是本題的關(guān)鍵，明確翻折前后的對(duì)應(yīng)角和邊相等，在證明中利用同角的三角函數(shù)列比例式比證明相似列比例式計(jì)算簡(jiǎn)單．