Question

如圖，一次函數(shù)y=-2x+2的圖象與與坐標(biāo)軸相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（x，y）是線(xiàn)段AB（不含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)△AOP的面積為S．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)S=

1

2

時(shí)，試問(wèn)在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得PQ+BQ最��？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）從圖中不難發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)B在y軸上，即B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，且點(diǎn)B在一次函數(shù)y=-2x+2的圖象上，則將x=0代入即可求得y值，B點(diǎn)坐標(biāo)即可確定．
（2）根據(jù)A點(diǎn)為一次函數(shù)y=-2x+2的圖象與與x軸的交點(diǎn)，不難確定A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）．再運(yùn)用三角形的面積計(jì)算公式，即可用求得△AOP的面積為S關(guān)于x的解析式．
（3）首先根據(jù)（2）可求得P的坐標(biāo)值．再設(shè)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B′，連接PB′，交x軸于Q，Q點(diǎn)即為所求．B′點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)不難求得．因而利用P、B的坐標(biāo)求得PB′的解析式，再聯(lián)立組成方程組求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)值．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=-2×0+2=2，
即B（0，2）；

（2）當(dāng)y=0時(shí)，0=-2x+2，
解得x=1，
∴A（1，0），即OA=1，
∴S_△AOP=

1

2

×OA×yP=

1

2

×1×(-2x+2)=-x+1，
即S=-x+1，其中0＜x＜1；

（3）∵S=

1

2

，
∴

1

2

=-x+1，
解得x=

1

2

，
把x=

1

2

代入y=-2x+2，可得y=1，
即P（

1

2

，1），
設(shè)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B′，連接PB′，交x軸于Q，Q點(diǎn)即為所求，如圖．
∵B′（0，-2），設(shè)經(jīng)過(guò)PB′的直線(xiàn)解析式為y=kx+b，于是

1= 1 2 k+b -2=k•0+b

，
解得k=6，b=-2，
∴PB′的解析式為y=6x-2，
令y=0時(shí)，解得x=

1

3

，
即Q（

1

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)與三角形相結(jié)合的問(wèn)題，在圖形中滲透運(yùn)動(dòng)的觀(guān)點(diǎn)是中考中經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題．