Question

如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，CD⊥AB且CD=AB.直線BE與軸平行，點(diǎn)F是射線BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD、AF、DF.

（1）若點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，），AF=.

①求此拋物線的解析式；

②點(diǎn)P是此拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在此拋物線的對稱軸上，以點(diǎn)A、F、P、Q為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（2）若，，且AB的長為，其中.如圖2，當(dāng)∠DAF=45時(shí)，求的值和∠DFA的正切值.

 

Answer 1

【答案】

（1）y=x²-x+ Q₁(,3) Q₂(,5) Q₃(,7)

【解析】

試題分析（1）：由題意。根據(jù)勾股定理易得到，點(diǎn)A B的坐標(biāo)，將點(diǎn)代入解析式中求出b c 的值，因?yàn)閷ΨQ軸x=，所以，設(shè)Q（，n） P(m, m²+m+),∵QP//AF.且QP="AF.∴AF與PQ的斜率相同，即解析式中的k相等，將點(diǎn)A" F的坐標(biāo)代人y=kx+b中得到AF的解析式，即可以得到PQ的解析式，含有m,n的方程，解得Q的坐標(biāo)值。（2）問，做輔助線，過點(diǎn)D做DM//X軸，交拋物線與M,過點(diǎn)A做AH⊥Y軸，得到矩形，由此證得△ABF≌△AHM，及△AFD≌△AMD,得，∠DFA=∠AFB由于C為中點(diǎn)，∴DG=CB=HD=t，設(shè)DF=x,∴DF²=DG²+GF²∴(t+x)²=t²+(2t-x)² 解得x = tan∠DFA==3. 解：（1）①∵直線BE與軸平行，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，1），

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0），∠FBA=90，BF=1.

在Rt△EFM中，AF=，

∴. 

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，0）.

∴拋物線的解析式為. ......................... 1分

②點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，3），（，5），（，7）.  ................... 4分

閱卷說明：答對1個(gè)得1分.

（2）∵，，

∴.

∴.

由 ，

.

解得 ，.

∵，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0）.

∴AB=，即 .  ............................................. 5分

方法一：過點(diǎn)D作DG∥軸交BE于點(diǎn)G，

AH∥BE交直線DG于點(diǎn)H，延長

DH至點(diǎn)M，使HM=BF.（如圖）

∵DG∥軸，AH∥BE，

∴四邊形ABGH是平行四邊形.

∵∠ABF=90，

∴四邊形ABGH是矩形.

同理四邊形CBGD是矩形.

∴AH=GB=CD=AB=GH=.

∵∠HAB=90，∠DAF=45，

∴∠1+∠2=45.

在△AFB和△AMH中，

 

∴△AFB≌△AMH.  6分

∴∠1=∠3，AF=AM，∠4=∠M.

∴∠3+∠2="45."

在△AFD和△AMD中，

∴△AFD≌△AMD.

∴∠DFA=∠M，FD=MD.

∴∠DFA=∠4.  ............................................................ 7分

∵C是AB的中點(diǎn)，

∴DG=CB=HD=.

設(shè)BF=，則GF=，FD=MD=.

在Rt△DGF中，，

∴，

解得 .

∴.  ...................................... 8分

方法二：過點(diǎn)D作DM⊥AF于M.（如圖）

∵CD⊥AB，DM⊥AF，

∴∠NCA=∠DMN=90.

∵∠1=∠2，

∴∠NAC=∠NDM.

∴tan∠NAC=tan∠NDM.

∴.  …………………………….6分

∵C是AB的中點(diǎn)，CD=AB=，

∴AC=，.

∵∠DAM=45，

∴. 

設(shè) CN=，則DN=.

∴.

∴.

在Rt△DNM中，，

∴.

.

.

∴，（舍）.

∴CN=， ................................................................ 7分

AN=.

∵EB∥軸，

∴EB⊥軸.

∵CD⊥AB，

∴CD∥EB.

∴.

∴AF=.

∴MF= AFAM=.

∴.  ...................................... 8分

^∴考點(diǎn)： 二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的判定，三角函數(shù)的定義，及方程的應(yīng)用，

點(diǎn)評：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的判定，還有正切值的求法，本題的關(guān)鍵是做輔助線的基礎(chǔ)上找到等角的關(guān)系，由全等三角形的判定知邊度關(guān)系，再由正切定理把設(shè)的未知數(shù)舍去而求之，本題做法不唯一，可根據(jù)已知靈活應(yīng)用。屬于難題，綜合性強(qiáng)，中考易出的題型。