Question

已知：如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，BC=8，AD=14， E為AB上一點，BE=2，點F在BC邊上運動，以FE為一邊作菱形FEHG，使點H 落在AD邊上，點G落在梯形ABCD內(nèi)或其邊上，若BF=x，△FCG的面積為y。
（1）當(dāng)x=_________ 時，四邊形FEHG為正方形；
（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出自變量的取值范圍）
（3）在備用圖中分別畫出△FCG的面積取得最大值和最小值時相應(yīng)的圖形（不要求尺規(guī)作圖，不要求寫畫法），并求△FCG面積的最大值和最小值；（計算過程可簡要書寫）
（4）△FOG的面積由最大值變到最小值時，點G運動的路線長為______________。

Answer 1

解：（1）4；
（2）如圖：連接FH，作于Q，則        ∵菱形FEHG                ∵直角梯形ABCD中                  所以y與x的函數(shù)關(guān)系式為
（3）①如右圖，當(dāng)點F運動到使菱形FEHG的頂點H與點A重合時，x取得最小值FCG的面積取得最大值。 畫法如下：以E為圓心，EA為半徑畫弧，交BC邊于點F，平移EA到FG，連接AG，得到四邊形FEHG，可證得四邊形FEHG為菱形。 此時，     ，FCG面積的最大值為
②如右圖，當(dāng)點F運動到使菱形FEHG的頂點G落在梯形ABCD的CD邊上時，x取得最大值，FCG的面積取得最小值。 畫法如下：在圖6中由GQ=4可知，無論點F在BC邊上如何運動，點G到BC及AD的距離不變，分別為4、2，取AE的中點P（AP=2），過點P作BC的平行線，交CD邊于G，作EG的垂直平分線，分別交AD、BC于H、F順次連接F、E、H、G得到四邊形FEHG，可得證四邊形FEHG為菱形。
如右圖，在上圖的基礎(chǔ)上繼續(xù)作于M，         與（2）同理可證得    設(shè)此時的    在中，    由勾股定理得 由菱形的性質(zhì)可知      即    解得； 此時  ∴的面積最小值為3 （4）的面積由最大值變到最小值時，點G運動的路線長為