Question

9．如圖，△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交∠BAC的平分線AE于點(diǎn)E，EF⊥AB于F，EG⊥AG交AC的延長線于G．
（1）求證：BF=CG．
（2）求證：2AF=AB+AC．

Answer 1

分析 （1）連接BE、EC，只要證明△EFB≌△EGC即可．
（2）由△AEF≌△AEG，得AF=AG，由△EFB≌△EGC得BF=CG，根據(jù)線段和差定義即可解決．

解答 （1）證明：連接BE、EC．
∵BD=DC，DE⊥BC，
∴EB=EC，
∵EA平分∠BAC，EF⊥AB，EC⊥AC，
∴EF=EG，
在RT△EFB和RT△EGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=EG}\\{BE=EC}\end{array}\right.$，
∴△EFB≌△EGC，
∴BF=CG．
（2）證明：在RT△AEF和RT△AEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{EF=EG}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEG，
∴AF=AG，
∵△EFB≌△EGC，
∴BF=CG，
∴AB+AC=AF+BF+AG-CG=2AF．
即2AF=AB+AC．

點(diǎn)評 本題考查角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，需要熟練掌握全等三角形的判定，屬于中考常考題型．