Question

16．如圖，已知△ABC中，點F在邊AB上，且AF=$\frac{2}{5}$AB、過A作AG∥BC交CF的延長線于點G．
（1）設$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，試用向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$表示向量$\overrightarrow{AG}$；
（2）在圖中求作向量$\overrightarrow{AG}$與$\overrightarrow{AB}$的和向量．
（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結論的向量）

Answer 1

分析 （1）證△AGF∽△BCF得$\frac{AG}{BC}$=$\frac{AF}{BF}$=$\frac{2}{3}$，即AG=$\frac{2}{3}$CB，由$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CB}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$）可得答案；
（2）延長CB到E，使BE=AG，連接AE，則$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AB}$．

解答 解：（1）∵AG∥BC，AF=$\frac{2}{5}$AB，
∴△AGF∽△BCF，$\frac{AF}{BF}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AG}{BC}$=$\frac{AF}{BF}$=$\frac{2}{3}$，即AG=$\frac{2}{3}$CB，
∴$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CB}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$）=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$；

（2）如圖所示，

$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AB}$．

點評 本題主要考查相似三角形的判定與性質及向量的運算、作圖，熟練掌握向量的基本運算法則是解題的關鍵．