Question

10．若點(diǎn)O是邊長為4的等邊△ABC的外心，將一個(gè)邊長足夠大的正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)固定在點(diǎn)O，使其繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，該正六邊形與△ABC重疊部分的面積是$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 連接OA、OC，根據(jù)等邊三角形和正六邊形性質(zhì)證△AOE≌△COD，再由S_陰影=S_△COD+S_△COE=S_△AOE+S_△COE=S_△AOC=$\frac{1}{3}$S_△ABC計(jì)算可得．

解答 解：連接OA、OC，

∵O為等邊△ABC的外心，且該六邊形為正六邊形，
∴∠AOE+∠COE=∠COE+∠COD=120°，OA=OC，
∴∠OAE=∠OCD=30°，∠AOE=∠COD，
在△AOE和△COD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠COD}\\{OA=OC}\\{∠OAE=∠OCD}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴S_陰影=S_△COD+S_△COE=S_△AOE+S_△COE=S_△AOC=$\frac{1}{3}$S_△ABC，
∵等邊△ABC的邊長為4，
∴S_陰影=$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4²=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等邊三角形和正六邊形的性質(zhì)，通過證明△AOE≌△COD將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為求S_△AOC是解題的關(guān)鍵．