Question

16．已知：如圖，直線y=-x+m分別與x軸交于點A（6，0），y軸交于點B，拋物線y=-x²+bx+c經過點A，B．
（1）求m的值和拋物線的解析式．
（2）若點P從點O向點A以每秒2個單位長度運動，設運動時間t（0＜t＜3）．
①若過點P作PM垂直x軸，交拋物線于點M，AB于點N，設點M，N兩點之間的距離為s．請你用含t的代數(shù)式表示s，并求出當s取最大值時t的值．
②若點Q也同時從點B向點O以每秒3個單位長度運動，當運動到點O時點P、點Q都停止運動．連結BP、AQ，且交于點C，當∠ACP=45°時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）先將點A的坐標代入直線y=-x+m中，求出m，進而得出點B的坐標，最后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）①先表示出點P的坐標，進而表示出點M，N的坐標，即可得出s與t的函數(shù)關系式，即可得出結論；
②先判斷出∠OBC=∠BAQ，再分別表示出tan∠DAQ=$\frac{DQ}{AD}$=$\frac{t}{4-t}$，tan∠OBP=$\frac{OP}{OB}$=$\frac{t}{3}$，建立方程即可求出時間t．

解答 解：（1）∵直線y=-x+m分別與x軸交于點A（6，0），
∴-6+m=0，
∴m=6，
∴B（0，6），
∵A（6，0），B（0，6）在拋物線y=-x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-36+6b+c=0}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=5}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+5x+5；

（2）①由運動知，P（2t，0），
∵PM⊥OA交拋物線于M，
∴M（2t，-4t²+10t+5），
∵PM⊥OA交直線y=-x+6于N，
∴N（2t，-2t+6），
∴s=MN=-4t²+10t+5-（-2t+6）=-4t²+12t-1=-4（t-$\frac{3}{2}$）²+8，
當t=$\frac{3}{2}$時，s最大=8；

②如圖，
過點Q作QD⊥AB于Q，
∵A（6，0），B（0，6），
∴OA=OB=6，
∴AB=6$\sqrt{2}$，∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠ABC+∠OBC=45°，
∵∠APC=45°，
∴∠BAQ+∠ABC=45°，
∴∠OBC=∠BAQ，
由運動知，BQ=3t，
∴OQ=6-3t，
在Rt△BDQ中，BQ=DQ=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$t，
∴AD=AB-BD=6$\sqrt{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$t，
在Rt△DAQ中，tan∠DAQ=$\frac{DQ}{AD}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}t}{6\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}t}$=$\frac{t}{4-t}$，
在Rt△OBP中，tan∠OBP=$\frac{OP}{OB}$=$\frac{2t}{6}$=$\frac{t}{3}$，
∴$\frac{t}{4-t}=\frac{t}{3}$，
∴t=1．
即：當t=1秒時，∠ACP=45°．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，等腰直角三角形的性質，等式的性質，銳角三角函數(shù)，解（1）的關鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，解（2）的關鍵是方程的思想解決問題．