Question

如圖，把一張長10cm，寬8 cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子（紙板的厚度忽略不計），從美觀的角度考慮要求底面的短邊與長邊的比不小于

2

3

，設(shè)四周小正方形的邊長為x cm
（1）求盒子的側(cè)面積S_側(cè)與x的函數(shù)關(guān)系式，并求x的取值范圍；
（2）求當(dāng)正方形的邊長x為何值時側(cè)面積S_側(cè)有最大值；
（3）若要求側(cè)面積不小于28cm²，直接寫出正方形的邊長x的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）由長方體的側(cè)面積=四個長方形的面積之和就可以表示出S_側(cè)與x之間關(guān)系式，由底面的短邊與長邊的比不小于

2

3

建立不等式就可以求出x的取值范圍；
（2）由（1）的解析式根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出最大值；
（3）由側(cè)面積不小于28cm²，建立不等式求出其解即可．

解答：解：（1）由題意，得
S_側(cè)=2（10-2x）x+2（8-2x）x，
S_側(cè)=-8x²+36x．
∵

8-2x

10-2x

≥

2

3

，
∴x≤2．
∵x＞0，
∴0＜x≤2；
（2）∵S_側(cè)=-8x²+36x．
∴S_側(cè)=-8x²+36x．
∴S_側(cè)=-8（x-

9

4

）²+

81

2

．
∴a=-8＜0
∴x=

9

4

時，S_{側(cè)最大}=

81

2

，
∴在對稱軸的左側(cè)，S_側(cè)隨x的增而增大，
∵0＜x≤2；
∴當(dāng)x=2時，S_側(cè)=40
答：當(dāng)x=2時，S_側(cè)有最大值為40；
（3）由題意，得
-8x²+36x≥28，
2x²-9x+7≤0，
（x-1）（2x-7）≤0，
∴①

x-1≤0 2x-7≥0

，②

x-1≥0 2x-7≤0

，
解①，得原不等式組無解，
解②，得1≤x≤

7

2

．
故正方形的邊長x的取值范圍是：1≤x≤

7

2

．

點評：本題考查了長方體的側(cè)面積的運用，二次函數(shù)的性質(zhì)的運用，自變量的取值范圍的運用，一元二次不等式的運用，解答時求出二次函數(shù)的解答式是關(guān)鍵．