Question

【題目】如圖，已知已知拋物線經過原點O和x軸上一點A（4，0），拋物線頂點為E，它的對稱軸與x軸交于點D，直線y=﹣2x﹣1經過拋物線上一點B（﹣2，m）且與y軸交于點C，與拋物線的對稱軸交于點F．

（1）求m的值及該拋物線的解析式

（2）P（x，y）是拋物線上的一點，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合條件的點P的坐標．

（3）點Q是平面內任意一點，點M從點F出發(fā)，沿對稱軸向上以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設點M的運動時間為t秒，是否能使以Q、A、E、M四點為頂點的四邊形是菱形？若能，請直接寫出點M的運動時間t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 3 (2) P1（2+2，1）P2=（2﹣2，1），P3）2，1） (3) 存在

解：（1）∵點B（﹣2，m）在直線y=﹣2x﹣1上

∴m=﹣2×（﹣2）﹣1=4﹣1=3，

所以，點B（﹣2，3），

又∵拋物線經過原點O，

∴設拋物線的解析式為y=ax2+bx，

∵點B（﹣2，3），A（4，0）在拋物線上，

，

解得 ．

∴拋物線的解析式為 ；

（2）∵P（x，y）是拋物線上的一點，

，

若S△ADP=S△ADC，

， ，

又∵點C是直線y=﹣2x﹣1與y軸交點，

∴C（0，﹣1），

∴OC=1，

∴| x2﹣x|=1，即x2﹣x=1，或x2﹣x=﹣1，

解得：x1=2+2 ，x2=2﹣2，x3=x4=2，

∴點P的坐標為 P1（2+2，1）P2=（2﹣2，1），P3）2，1）；

（3）結論：存在．

∵拋物線的解析式為y=x2﹣x，

∴頂點E（2，﹣1），對稱軸為x=2；

點F是直線y=﹣2x﹣1與對稱軸x=2的交點，∴F（2，﹣5），DF=5．

又∵A（4，0），

∴AE= ．

如右圖所示，在點M的運動過程中，依次出現(xiàn)四個菱形：

①菱形AEM1Q1．

∵此時EM1=AE=，

∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=4﹣，

∴t1=4﹣；

②菱形AEOM2．

∵此時DM2=DE=1，

∴M2F=DF+DM2=6，

∴t2=6；

③菱形AEM3Q3．

∵此時EM3=AE=，

∴DM3=EM3﹣DE=﹣1，

∴M3F=DM3+DF=（﹣1）+5=4+，

∴t3=4+；

④菱形AM4EQ4．

此時AE為菱形的對角線，設對角線AE與M4Q4交于點H，則AE⊥M4Q4，

∵易知△AED∽△M4EH，

，即 ，得 ，

∴DM4=M4E﹣DE= ﹣1= ，

∴M4F=DM4+DF=+5= ，

∴t4=．

綜上所述，存在點M、點Q，使得以Q、A、E、M四點為頂點的四邊形是菱形；時間t的值為：t1=4﹣，t2=6，t3=4+，t4=．

【解析】試題分析：（1）將x=-2代入y=-2x-1即可求得點B的坐標，根據(jù)拋物線過點A、O、B即可求出拋物線的方程.

（2）根據(jù)題意，可知△ADP和△ADC的高相等，即點P縱坐標的絕對值為1，所以點P的縱坐標為 ，分別代入中求解，即可得到所有符合題意的點P的坐標。

（3）由拋物線的解析式為 ，得頂點E（2，﹣1），對稱軸為x=2；

點F是直線y=﹣2x﹣1與對稱軸x=2的交點，求出F（2，﹣5），DF=5．

又由A（4，0），根據(jù)勾股定理得 ．然后分4種情況求解.