Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，cosB=

3

5

，現(xiàn)作如下操作：將△ACB沿直線AC翻折，然后再放大得到△A′CB′（點(diǎn)A′、C、B′的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A、C、B），聯(lián)結(jié)A′B，如果△AA′B是等腰三角形，那么B′C的長(zhǎng)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：在Rt△ABC中，根據(jù)余弦的定義得到cosB=

BC

AB

=

3

5

，則可得到BC=3，再利用勾股定理計(jì)算出AC=4，由于∠BAA′＞90°，△AA′B是等腰三角形，所以只有AA′=AB=5，則A′C=AA′+AC=9，再根據(jù)折疊和位似的性質(zhì)得∠B′=∠B，于是可判斷Rt△A′B′C∽R(shí)t△ABC，然后利用相似比可計(jì)算出B′C．

解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，cosB=

3

5

，
∴cosB=

BC

AB

=

3

5

，即BC=3，
∴AC=

AB2-BC2

=4，
∵∠BAA′＞90°，△AA′B是等腰三角形，
∴AA′=AB=5，
∴A′C=AA′+AC=5+4=9，
∵△ACB沿直線AC翻折，然后再放大得到△A′CB′，
∴∠B′=∠B，
∴Rt△A′B′C∽R(shí)t△ABC，
∴

A′C

AC

=

B′C

BC

，即

9

4

=

B′C

3

，
∴B′C=

27

3

．
故答案為

27

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．