Question

15．我們可以通過類比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的，下面是一個案例，請補充完整
原題：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，試說明理由．

（1）思路梳理
∵AB=AD，
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合．
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，點F、D、G共線．
根據(jù)SAS，易證△AFG≌△AFG，得EF=BE+DF．
（2）類比引申
如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，則當∠B與∠D滿足等量關系∠B+∠D=180°時，仍有EF=BE+DF．
（3）聯(lián)想拓展
如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC應滿足的等量關系，并寫出推理過程．

Answer 1

分析 （1）把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，再證明△AFG≌△AFE進而得到EF=FG，即可得EF=BE+DF；
（2）∠B+∠D=180°時，EF=BE+DF，與（1）的證法類同；
（3）根據(jù)△AEC繞點A順時針旋轉90°得到△ABE′，根據(jù)旋轉的性質，可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，根據(jù)Rt△ABC中的，AB=AC得到∠E′BD=90°，所以E′B²+BD²=E′D²，證△AE′D≌△AED，利用DE=DE′得到DE²=BD²+EC²．

解答 解：（1）∵AB=AD，
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合．
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，點F、D、G共線，
在△AFE和△AFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
即：EF=BE+DF，
故答案為：SAS；△AFG；
（2）∠B+∠D=180°時，EF=BE+DF；
∵AB=AD，
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDG=180°，點F、D、G共線，
在△AFE和△AFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
即：EF=BE+DF；
（3）猜想：DE²=BD²+EC²，
證明：連接DE′，根據(jù)△AEC繞點A順時針旋轉90°得到△ABE′，
∴△AEC≌△ABE′，
∴BE′=EC，AE′=AE，
∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，
在Rt△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABC+∠ABE′=90°，
即∠E′BD=90°，
∴E′B²+BD²=E′D²，
又∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°，
∴∠E′AB+∠BAD=45°，
即∠E′AD=45°，
在△AE′D和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE′=AE}\\{∠E′AD=∠EAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△AE′D≌△AED（SAS），
∴DE=DE′，
∴DE²=BD²+EC²．

點評 本題考查的是全等三角形的判定和性質、旋轉變換的性質以及勾股定理及其逆定理的應用，掌握全等三角形的判定定理和性質定理、靈活運用勾股定理的逆定理判斷直角三角形是解題的關鍵．