Question

【題目】如圖，點E，F分別在正方形ABCD的邊CD，BC上，且，點P在射線BC上（點P不與點F重合）．將線段EP繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到線段EG，過點E作GD的垂線QH，垂足為點H，交射線BC于點Q．

（1）如圖1，若點E是CD的中點，點P在線段BF上，線段BP，QC，EC的數(shù)量關(guān)系為________．

（2）如圖2，若點E不是CD的中點，點P在線段BF上，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立．若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．

（3）正方形ABCD的邊長為6，，，請直接寫出線段BP的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）成立，見解析；（3）線段BP的長為3或5．

【解析】

（1）由ASA證明，得出，即可得出結(jié)論；

（2）由ASA證明，得出，即可得出結(jié)論；

（3）①當(dāng)點P在線段BF上時，點Q在線段BC上，由（2）可知：，求出，，即可得出答案；

②當(dāng)點P在射線FC上時，點Q在線段BC的延長線上，同理可得：；即可得出答案．

（1）；理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴，，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，

∴，

∵，

∴，，

∴，

又∵，，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∴，

即；

故答案為：；

（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：

由題意得：，，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴，，

∴，

∵，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∴，

即；

（3）分兩種情況：

①當(dāng)點P在線段BF上時，點Q在線段BC上，

由（2）可知：，

∵，

∴，，

∴；

②當(dāng)點P在射線FC上時，點Q在線段BC的延長線上，如圖3所示：

同（2）可得：，

∴，

∵，，

∴，

∴；

綜上所述，線段BP的長為3或5．