Question

13．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，N，P，G分別在邊AB，BC，CD，DA上，點(diǎn)M，F(xiàn)，Q都在對角線BD上，且四邊形MNPQ和AEFG均為正方形，則$\frac{{S}_{正方形MNPQ}}{{S}_{正方形AEFG}}$的值等于$\frac{8}{9}$．

Answer 1

分析 根據(jù)輔助線的性質(zhì)得到∠ABD=∠CBD=45°，四邊形MNPQ和AEFG均為正方形，推出△BEF與△BMN是等腰直角三角形，于是得到FE=BE=AE=$\frac{1}{2}$AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，即可得到結(jié)論．

解答 解：在正方形ABCD中，
∵∠ABD=∠CBD=45°，
∵四邊形MNPQ和AEFG均為正方形，
∴∠BEF=∠AEF=90°，∠BMN=∠QMN=90°，
∴△BEF與△BMN是等腰直角三角形，
∴FE=BE=AE=$\frac{1}{2}$AB，BM=MN=QM，
同理DQ=MQ，
∴MN=$\frac{1}{3}$BD=$\frac{\sqrt{2}}{3}$AB，
∴$\frac{{S}_{正方形MNPQ}}{{S}_{正方形AEFG}}$=$\frac{（\frac{\sqrt{2}}{3}AB）^{2}}{（\frac{1}{2}AB）^{2}}$=$\frac{8}{9}$，
故答案為：$\frac{8}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的面積的計(jì)算，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．